CP: EJE RADICAL CP_5 Prof. José Juan Aliaga Maraver

Lugar Geométrico de la Suma/Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos b2 = h2 + ( a/2 – MH )2 c2 = h2 + ( a/2 + MH )2 c b m h m2 = h2 + MH2 M H C B a/2 a b2 + c2 = 2h2 + a2/2 + 2MH2 = a2/2 +2m2 b2 - c2 = - 2aMH

Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos. ”El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos B y C es una cantidad constante k es una recta ortogonal a BC cuya distancia al punto medio de BC es d=K/2BC.” A dB2=k+dc2 dc m h M H C B d=k/2a a Aplicación-.Ejes radical ,diametral y ortodiametral.

Lugar Geométrico de la Diferencia de cuadrados de distancias a dos puntos fijos. b2 - c2 = - 2aMH = cte Al ser fija la distancia entre los puntos, “a” es constante A Para que la igualdad sea constante la distancia “MH” tiene que serlo también c b “MH” es la proyección de la mediana sobre “BC” m h M H C B a/2 a para que la proyección de la mediana sobre “BC” permanezca constante, el punto “A” tiene que moverse sobre la recta “h”

Eje radical El eje radical de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que son centros de circunferencias ortogonales a dichas circunferencias que tienen igual potencia respecto a dichas circunferencias desde los cuales se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las circunferencias

Circunferencias ortogonales a dos dadas “El lugar geométrico de los centros Co de todas las circunferencias co ortogonales a c1 y c2 son los puntos del eje radical e exterior a c1 y c2.” R R d12 = 12+R2 d1 d22 = 22+R2 d2 1 2 d12 - d12 = 12-  22 = cte Eje radical

Centro radical de tres circunferencias El Centro radical CR de tres circunferencias coplanarias es un punto de su plano: es intersección de los tres ejes radicales de las circunferencias tiene igual potencia respecto a dichas circunferencias es centro de la circunferencia ortogonal a dichas circunferencias desde el cual se pueden trazar segmentos tangentes de igual longitud a las tres circunferencias

Determinación del eje radical Dirección perpendicular a la recta base de los centros Potencia nula

Determinación del eje radical Dirección perpendicular a la recta base de los centros CR Circunferencia auxiliar

Circunferencias ortogonales a tres dadas: Centro radical CR 1 2

Casos singulares Eje radical de dos puntos Eje radical de punto y circunferencia Eje radical de punto y recta ? Eje radical de circunferencia y recta ? Eje radical de dos rectas ?

CP_5P_01 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Trazar la circunferencia ortogonal a c1, c2 y c3. Analizar diferentes modelos de solución y de datos

CP_5P_02 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Trazar las circunferencias de centros A, B y C y la condición de que sean tangentes dos a dos exteriormente. A B C

CP_5P_03 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Dados los puntos A, B y C, trazar tres circunferencia tangentes dos a dos con puntos de tangencia en dichos puntos A B C

CP_5P_04 Potencia de un punto respecto de una circunferencia Dadas tres circunferencias c1, c2 y c3 y tres puntos A1, A2 y A3, hallar una circunferencia c de forma que los ejes radicales de la circunferencia c con las c1, c2 y c3 pasen, respectivamente por los A1, A2 y A3. c2 A1 c1 c3 A3 A2

CP_5P_05 Circunferencias ortogonales a dos dadas Determinar la parte circular del eje de la pista de rodadura que por condiciones de terreno ha de ser tangente a la recta a, pasar por el punto P y ser ortogonal a la circunferencia c1. c1 c1 a P P a

CP_5P_06 Circunferencias ortogonales a dos dadas Determinar la circunferencia ortogonal a c y que pase por los puntos A1 y A2. c A1 A2