Ecuaciones de Fresnel

Plano de incidencia y la interface con el medio Definición Definición Plane of the interface (here the yz plane) (perpendicular to page) nini ntnt ii rr tt EiEi ErEr EtEt Interface x y z Plano de incidencia (x-y plano) es el plano que contiene los vectores k de los rayos incidente y reflejado. Medio de incidencia Medio de transmisión Paralelo (“P”) La polarización es paralela al plano de incidencia. Perpendicular (“S”) la polarización apunta hacia el interior del plano de incidencia.

Notación simplificada para los estados de polarización Perpendicular (“S”) Esta polarización se encuentra apuntando hacia afuera del plano de incidencia. Paralelo (“P”) Esta polarización está paralela al plano de incidencia

Ecuaciones de Fresnel Ecuaciones de Fresnel Podemos calcular la fracción de la luz de la onda refejada y transmitida a través la interface entre los dos medios con distinto índice de refracción. Fresnel fué el primero que hizo éste cálculo. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface x y z El caso considerado corresponde a luz con el campo perpendicular al plano de incidencia Empecemos por considerar las condiciones de contorno en la interface para el campo eléctrico y magnético de la ondas i, r y t para el caso “S”.

La componente tangential del campo eléctrico es continua En otras palabras, el campo total E en el plano de la interface es continuo. Sucede que, todos los campos E están en la dirección z, que es e plano (xz) de la interface, Así: E i (x, y = 0, z, t) + E r (x, y = 0, z, t) = E t (x, y = 0, z, t) nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Condiciones de contorno para el campo Eléctrico en la interface x y z

La componente tangencial del campo magnético es continua En otras palabras, el campo total B en el plano de la interface es continuo. Todos los campos B están en el plano x-y. Si consideramos la componente, tenemos x: –B i (x, y = 0, z, t) cos(  i ) + B r (x, y = 0, z, t) cos(  r ) = –B t (x, y = 0, z, t) cos(  t ) Condiciones de contorno para el campo magnético en la interface nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface x y z ii ii

Reflexión y Transmisión de luz polarizada perpendicularmente (S) Ignoring the rapidly varying parts of the light wave and keeping only the complex amplitudes: Si y Sustituyendo por

Coeficientes de Reflexión y Transmisión para luz polarizada perpendicularmente reacomodando obtenemos : Resolviendoobtenemos el coeficiente de reflexión: En forma análoga obtenemos el coeficiente de transmisión Estas son la llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada perpendicularmente

Ecuaciones de Fresnel Campo eléctrico paralelo x y z Notar que el campo magnético debe entrar hacia la pantalla para tener que. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Geometría de los Rayos para luz polarizada con el campo eléctrico E paralelo al plano de incidencia Campo B- entrante en la página.

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para E paralelo (P) al plano de incidencia For parallel polarized light, B 0i - B 0r = B 0t and E 0i cos(  i ) + E 0r cos(  r ) = E 0t cos(  t ) Solving for E 0r / E 0i yields the reflection coefficient, r || : Analogously, the transmission coefficient, t || = E 0t / E 0i, es: Estas son las llamadas ecuaciones de Fresnel para luz polarizada paralelamente. para luz polarizada paralela al pIano y calculamos y obtenemos el coeficiente de reflexión: En forma análoga el coeficiente de transmisión

Coeficiente de Reflexión y Transmisión para una interface Aire-Vidrio n aire  1 < n vidrio  1.5 Note que: Hay reflexión total para  = 90° para ambas polarizaciones Reflexión cero para polarización paralela en el “ángulo de Brewster” (56.3° para los valores de n i y n t ).Para valores difrerentes de los índices de refracción, el ángulo de Brewster será diferente. ángulo de incidencia,  i Coeficiente de Reflexion, r r || r ┴ 0° 30° 60° 90° ángulo de Brewster r || =0

Coeficiente de Reflexión para la interface Vidrio-Aire n vidrio  1.5 > n aire  1 Note que : Ocurre refexión total interna por encima del “ángulo crítico "  crítico  arcsen(n t /n i ) (el seno en la ley de Snell no puede ser > 1) Angulo de incidencia,  i Coeficiente de Reflexión r r || r ┴ 0° 30° 60° 90° Reflexión Total interna Ángulo de Brewster Ángulo Crítico Ángulo crítico

Transmitancia ( T ) T  Potencia transmitida / Potencia Incidente tt ii wiwi wtwt nini ntnt A = Area Si el rayo tiene un ancho w i : Ya que T es la transmitancia o Transmisividad.

Reflectancia ( R ) R  Potencia reflectada/ Potencia incidente Dado que el ángulo de incidencia = ángulo de reflexión, el área del rayo no cambia en la reflexión. También, n es el mismo para ambos rayos ya que están en el mismo medio. Así: A = Area ii wiwi nini ntnt rr wiwi R es la Reflectancia o Reflectividad.

Reflectancia y Transmitancia para una interface Aire-Vidrio Note que R + T = 1 Polarización Perpendicular Ángulo de Incidencia,  i ° 30° 60° 90° R T Polarización Paralela Ángulo de Incidencia,  i ° 30° 60° 90° R T

Reflectancia y Transmitancia para una interface Vidrio-Aire Note que R + T = 1 Polarización Perpendicular Ángulo de Incidencia,  i ° 30° 60° 90° R T Polarización Paralela Ángulo de Incidencia,  i ° 30° 60° 90° R T

Reflexión con incidencia normal Cuando  i = 0, Para una interfaz aire-vidrio ( n i = 1 y n t = 1.5 ), R = 4% and T = 96% Los valores son los mismos,independientemente de la dirección en que viaje la luz, del aire al vidrio o viceversa. R= 4% tiene implicaciones para los lentes fotográficos.

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Entonces habrá diferencia de fase de π radianes entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si n i > n t (vidrio - aire), r  > 0, no hay diferencia de fase entre el rayo incidente y el reflejado. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Cuando Aire-vidrio Si

Cambio de fase para la Reflexión de luz polarizada perpendicularmente Esto significa que habrá diferencia de fase de π radianes entre el rayo incidente y el reflejado. De la misma forma, si n i > n t (vidrio - aire), r || > 0, no hay diferencia de fase entre el rayo incidente y el reflejado. nini ntnt ii rr tt EiEi BiBi ErEr BrBr EtEt BtBt Interface Cuando Aire-vidrio Si

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflection (aire - vidrio) n i < n t 180° para todos los ángulos 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 00 00 ┴ ||

Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflexión Gráficas del cambio de fase para la reflexión reflexión (vidrio - aire) n t < n i Cambia la fase por encima del ángulo crítico 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 0° 30 ° 60 ° 90 ° Áng de incidencia 00 00 ┴ ||

Reflexión Total Interna (RIT) ocurre cuando sin(  t ) > 1, y no hay haz transmitido Note que la irradiancia del haz transmitido tiende a cero (occurre RIT) cuando roza la superficie. RIT tiene 100% de eficiencia, esto es, toda la luz es refejada. Ángulo de Brewster Reflexión total interna