GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES UNIDAD 4: GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS NO UNIFORMES Parte 2

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME Ahora veremos como pasar de una distribución uniforme entre 0 y 1, a una distribución entre A y B arbitrariamente. Esto se realizara utilizando la regla de tres. Distribución uniforme U[A,B)

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME r es el valor entre 0 y 1 en la distribución uniforme a es el valor en la distribución deseada En la distribución a la que queremos llegar F(a) donde se encuentra el valor de “a” que varia, entre A y B, que se debe hacer para que quede entre 0 y 1, se resta A y se divide entre B – A. Si a=B, entonces F(a)=1, si a=A, entonces F(a)=0.

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME Donde a varia entre A y B, y r entre 0 y 1

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME EJEMPLO Es decir A=10 y B=20 Para hallar a = (B - A)r + A, entonces: a = (20 - 10)r + 10 Con ello encontramos los números “a” a partir de los números “r” generados En una distribución uniforme que va de 0 a 1.

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME EJEMPLO Diagrama de frecuencias de 100 números pseudoaleatorios con distribución U [10,20)

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.3 DISTRIBUCIÓN EMPIRICA En esta distribución se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad: La distribución acumulada de esta distribución es:

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.3 DISTRIBUCIÓN EMPIRICA Distribución acumulada empírica

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.3 DISTRIBUCIÓN EMPIRICA Puesto que la acumulada de la función tienen un valor de ½ cuando x=1, como se puede apreciar en la anterior figura, entonces el valor de la variable aleatoria x se determina de acuerdo a la siguiente expresión: Donde R es el número en la distribución uniforme y x es el número al que llegamos en la nueva distribución empírica.

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.4 DISTRIBUCIÓN POISSON En esta distribución se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad: Puesto que esta distribución de probabilidad es discreta, es necesario evaluar f(x) para cada valor de x, y entonces determinar la distribución acumulada F(x). Tanto la distribución de probabilidad como la distribución acumulada de esta variable aparecen en la siguiente tabla.

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA Distribución de probabilidad y distribución acumulada de la función Poisson

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA 4.1.4 DISTRIBUCIÓN POISSON De acuerdo a esta distribución acumulada, la siguiente tabla muestra el valor que tomará la variable aleatoria x dependiendo del intervalo al cual pertenece el número uniforme R

4.1 MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA Transformada inversa de la función 𝒆 −𝟓 𝟓 𝒙 𝒙!

4.2 MÉTODO DE RECHAZO 4.2 MÉTODO DE RECHAZO. Existe otro procedimiento denominado método de rechazo para generar números al azar de distribuciones de probabilidad no – uniformes. Consiste primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que dicho valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está analizando. Entonces suponemos que f(x) (ver figura a continuación) es una distribución de probabilidad acotada y con rango finito, es decir, a≤ x ≤ b. De acuerdo a esta función, la aplicación del método de rechazo implica el desarrollo de los siguientes pasos:

4.2 MÉTODO DE RECHAZO MÉTODO DE RECHAZO. Distribución de probabilidad con rango finito y con moda M

4.2 MÉTODO DE RECHAZO MÉTODO DE RECHAZO.

4.2 MÉTODO DE RECHAZO MÉTODO DE RECHAZO. La teoría sobre la que se apoya este método se basa en el hecho de que la probabilidad de que R2 ≤ f(x)/M es exactamente f(x)/M. Por consiguiente, si un número es escogido al azar de acuerdo a x=a+(b-a)R1 y rechazando si R2 > f(x)/M, entonces la distribución de probabilidad de las x aceptadas será exactamente f(x). Por otra parte conviene señalar que si todas las x fueran aceptadas, entonces x estaría uniformemente distribuida entre a y b.

4.2 MÉTODO DE RECHAZO MÉTODO DE RECHAZO. Es necesario, mencionar que algunos autores como Tocher, han demostrado que el número esperado de intentos para x sea aceptada como una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad f(x), es M. Esto significa que este método podría ser un tanto ineficiente para ciertas distribuciones de probabilidad den las cuales la moda sea grande.

4.2 MÉTODO DE RECHAZO 4.2.1 DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA. Aplicando el método de rechazo en una distribución empírica, se tendría lo siguiente: Se desea generar números al azar que sigan la siguiente distribución de probabilidad. Para esta función, a= 0, b=1 y M=2. Por consiguiente, aplicando los pasos descritos previamente se tiene:

4.2 MÉTODO DE RECHAZO DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA. Ejemplo: 1) Para R1 = 0; R2 =1; M=2 2) x= 0+(1 - 0)*0 = 0 Evaluando en f(x) f(x)=2x= 2(0)= 0

4.2 MÉTODO DE RECHAZO DISTRIBUCIÓN EMPÍRICA. 3) R2 ≤ f(x)/M 1 ≤0? No se cumple, entonces debemos volver a tomar 2 números. 2da prueba 1) Para R1 = 0,5; R2 =0,2; M=2 2) x= 0+(1 - 0)*0,5 = 0,5 Evaluando en f(x) f(x)=2x= 2(0,5)= 1 3) R2 ≤ f(x)/M =1/2 =0,5 0,2 ≤0,5 si se cumple