Estructuras matemáticas del método de elementos finitos

Contenido Descripción matemática del método Nociones básicas de análisis funcional Notación forma integral compacta Formulación débil

Introducción El proceso de discretización espacial por FEM se apoya en la representación discreta de la forma integral débil de las ecuaciones diferenciales a ser discretas. Esta formulación requiere de la definición de algunos espacios de funciones, sus normas asociadas y la introducción de la forma compacta de las funciones de estos espacios.

Descripción matemática del método En un problema definido mediante ecuaciones diferenciales, una alternativa de reformulación es la forma variacional ó débil, en que dichas ecuaciones se escriben en forma integral, dando lugar a ecuaciones tratables mediante los métodos del álgebra lineal sobre un espacio vectorial de dimensión infinita o espacio funcional. El dominio debe dividirse mediante una partición en subdominios, llamados elementos finitos. Asociada a la partición anterior se construye un espacio vectorial de dimensión finita, llamado espacio de elementos finitos. Siendo la solución numérica aproximada obtenida por elementos finitos, una combinación lineal en dicho espacio vectorial. Se obtiene la proyección del problema variacional original sobre el espacio de elementos finitos obtenido de la partición. Esto da lugar a un sistema con un número de ecuaciones finito donde el número de incógnitas será igual a la dimensión del espacio vectorial de elementos finitos obtenido. El último paso es el cálculo numérico de la solución del sistema de ecuaciones. Los pasos anteriores permiten construir un problema de cálculo diferencial en un problema de álgebra lineal.

Espacios de Funciones Los vectores en el espacio R se pueden pensar como funciones evaluadas en valores discretos de una variable, por ejemplo, la sucesión geométrica [1, 1/2, 1/4, 1/8,...] es la función f(x)=(1/2)x, evaluada en x=0,1,2,3,... En forma similar, la sucesión aritmética [2, 4, 6, 8, 10,...] Se expresa como la función f(x) =2x+2 evaluada en x=0,1,2,3,... ¿y qué pasa si x toma valores continuos?

Espacios de Funciones Si x toma valores continuos en el intervalo de números reales [a,b] los vectores se transforman en funciones de valor real en ese intervalo. Sin embargo, este conjunto de funciones es demasiado extenso y sólo algunos subconjuntos son de interés, especialmente los de funciones de norma finita. ¿Pero y ... Como se define la norma de una función?

Norma vectorial Un vector es un elemento de un espacio vectorial del que, en ocasiones, especialmente en Física y Geometría, interesa conocer su longitud. Para ello se hace necesario definir un operador norma que determine el tamaño de sus elementos. La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos la noción de módulo de un vector de un espacio euclídeo. Recuérdese que en un espacio no euclídeo el concepto de camino más corto entre dos puntos ya no es identificable con el de la línea recta. En un espacio vectorial dotado de producto escalar existe una norma asociada al producto escalar definida Será la norma natural en el contexto de elementos finitos

Norma energética del error Una parte imprescindible en un análisis con el método de elementos finitos FEM es la evaluación del error inherente a la solución. Existen algunos procedimientos que permiten hacer una estimación del error para determinar la calidad de la solución. Los errores en la solución de un problema cuando se emplea FEM se pueden clasificar: Errores de modelado Errores de discretización: aparecen debido a la representación que se hace del sistema continuo, con un número infinito de grados de libertad, en un sistema discreto con N grados de libertad. Predominante. Errores de redondeo y manipulación matemática

Norma energética del error Lo más práctico en un FEA, es medir los errores de discretización utilizando una norma que proporcione una magnitud de error en términos de una magnitud escalar. Por ejemplo en problemas de elasticidad se utiliza ampliamente la norma energética ya que se relaciona directamente con la energía del sistema. En otras aplicaciones puede tener más sentido físico otras normas. Una de ellas es la norma energética.

Espacios de Funciones La manera natural de redefinir el producto interno para funciones, es transformando la sumatoria en una integral, así, para las funciones f, g definidas en el intervalo [a,b]: De acuerdo a esto, la norma de la función f, será

Espacios de Funciones Ejemplo: Para las funciones f(x) = sen(x), g(x)=cos(x), definidas en el intervalo [0,2] Producto interno: = 0, es decir, son funciones ortogonales. Normas: =  = 

Espacios L2 Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

Espacios L2 Con el producto escalar: Y la norma: Las integrales de la formulación variacional exigen que las funciones u(x), v(x),u’(x) y v’(x) tengan definido el cuadrado integrable sobre el dominio 

Cuadrado integrable En análisis matemático, una función f(x) de una variable real con valores reales o complejo se dice de cuadrado sumable o también de cuadrado integrable sobre un determinado intervalo, si la integral del cuadrado de su módulo, definida en el intervalo de definición, converge. El conjunto de todas las funciones medibles de cuadrado integrable sobre un dominio dado forman un espacio de Hilbert sumable, también llamado espacio L2.

El Espacio de Hilbert El espacio R contiene las sucesiones de números reales de la forma: [x1,x2,x3,...], por ejemplo: [0, 3, 6, 9, 12, 15,...] (sucesión aritmética) [1, ½, ¼, 1/8, ...] (Sucesión geométrica) [1, ½, 1/3, ¼, ...] (Sucesión armónica) [1, 1, 2, 3, 5, 8,...] (Sucesión de Fibonacci) [0, sen(1), sen(2), sen(3),....] Etc.. Este espacio es demasiado grande y con pocas propiedades interesantes, ya que la norma de sus vectores puede ser infinita.

El Espacio de Hilbert Si nos restringimos a considerar solamente sucesiones de “longitud” finita o norma euclideana finita obtenemos un espacio Vectorial llamado Espacio de Hilbert o espacio l2. Así, un vector [x1,x2,x3,...] está en el espacio de Hilbert si ||x||2=x12+x22+x32,+... Es un número finito.

<x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... < El Espacio de Hilbert El espacio de Hilbert es de interés especial porque en él está bien definido el producto interno (no se hace infinito). Así, para dos vectores arbitrarios x= [x1,x2,x3,...], y= [y1,y2,y3,...] en este espacio: <x,y>= x1y1+x2y2+x3y3... <

|<x,y>|  ||x|| ||y|| El Espacio de Hilbert De hecho, al igual que en todo espacio vectorial, se cumple la desigualdad de Schwartz-Cauchy: |<x,y>|  ||x|| ||y|| Y como x, y tienen norma finita, <x,y> será finito.

|x1y1+x2y2+x3y3|2  (x12+x22+x32)(y12+y22+y32) El Espacio de Hilbert Ejemplo: ¿qué significa la desigualdad de Schwartz para vectores en R3? Solución. Sean dos vectores arbitrarios en R3, x=[x1,x2,x3], y= [y1,y2,y3], la desigualdad de Schwartz garantiza que: |x1y1+x2y2+x3y3|2  (x12+x22+x32)(y12+y22+y32) Por ejemplo, sean x=[1 2 3], y= [4 5 6], la desigualdad da: 1024  (14)(77)=1078

Otras estructuras matemáticas Se define C0 y C1 en un intervalo abierto : Así C representa el espacio de funciones infinitamente diferenciables definidas en , a valores reales. Otro concepto importante para construir cualquier solución matemática es la distribución, que es el espacio donde se definen las funciones de prueba.

Las distribuciones Las distribuciones son la generalización del conjunto de funciones infinitamente derivable Se usará la notación multi-indice para las derivadas parciales: y entero no negativo Definida:

Espacio de Sobolev Un espacio de Sóbolev es un tipo de espacio vectorial funcional, dotado de una norma de tipo Lp, tal que la función y sus derivadas hasta cierto orden tienen norma finita. Un espacio de Sóbolev puede ser considerado como un subespacio de un espacio Lp. Se define como: Equipados con la norma

Espacio de Sobolev Para k=1 Este espacio está equipado con el producto interno Y la norma

Soporte compacto de una función En matemáticas, se denomina soporte de una función al conjunto de puntos donde la función no es cero. Se define Cuando x se anula en la vecindad de la frontera  con acotamiento de la función, se denomina soporte compacto de la función. Este concepto permite llevar a la siguiente definición:

Soporte compacto de una función Es el espacio de funciones continuas e infinitamente diferenciables cuyas funciones acotadas derivables se hacen cero en la vecindad de la frontera. Con este concepto se define los sub espacios de la formulación débil. Otro subespacio que se usará frecuentemente es:

Espacios L2 Las Normas lp definidas para vectores en R se transforman en las normas Lp que se definen para una función f(x) en el intervalo [a,b]como sigue Así, las funciones de norma L2 finita conforman el conjunto de funciones de cuadrado integrable o Espacio L2.

Forma integral compacta Los problemas de valor en la frontera se hará uso de la forma bilineal: Forma trilineal: Con la notación:

Forma bilineal

Forma bilineal simetrica

Formulación débil o variacional Un fenómeno puede ser descrito por una ecuación diferencial de clase 2 (formulación fuerte) con unas condiciones de frontera que pueden ser descritas: Se tomarán: Para resolverla se debe garantizar continuidad, derivabilidad e integrabilidad. Algunas veces no es posible cumplir estas condiciones para solucionar el modelo matemático.

Formulación débil o variacional Se analizará la ecuación de Poisson: Donde la función u(x) debe estar definida: Es importante debilitar la ecuación diferencial para que se reduzcan los requerimientos para su solución. Algunas veces la notación será:

Formulación débil o variacional El primer paso es construir una función de prueba tal que w(x)  C1 que multiplica la ecuación gobernante y se integra: Si al término de la izquierda se aplica las identidades de Green y teorema de divergencia quedaría:

Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes Es la versión vectorial de la fórmula de integración por partes. Se deduce del teorema de la divergencia tomando . Hay que tener en cuenta, además, que: , con ello resulta: Primera Identidad de Green Se toma un campo escalar y tal que , entonces la primera identidad quedaría como: Si se intercambian y y el resultado se resta de la anterior, resulta la segunda identidad de Green: Segunda Identidad de Green

Formulación débil o variacional Sustituyendo en la ecuación inicial y aplicando la condición de Neumann: En la notación compacta: El siguiente paso sería construir una base funcional y resolver el problema en esa base, donde la solución integral exige

Teorema de Lax Milgram Las soluciones de la formulación débil algunos casos no tienen la solución clásica. Sin embargo aplicando el teorema de Lax Milgram se puede demostrar que tienen solución única.

Principio variacional La forma débil se puede asumir que viene de la minimización del funcional cuadrático tomando como la variación de u: En su forma compacta: Si se hace

Bases de Espacios L2 Si tuvieramos una base para un espacio de funciones podríamos expresar cualquier función como una Combinación Lineal (serie) de funciones de la base. Algunas bases comúnmente utilizadas son: {1,x,x2,x3,...}  Series de Taylor {1,senx,cosx,sen2x,cos2x,...}Series de Fourier {1,senx+cosx,sen2x+cos2x,...}Series de Hartley

Referencias Notas del Curso Método de elementos de frontera. UPB Wikipedia

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