QUIMICA CUANTICA VECTORES Vectores en R2: Un vector en R2 es un segmento orientado del plano.       sentido u orientación origen extremo a |a| = a = longitud módulo a b Vectores equivalentes

VECTORES OPERACIONES PRODUCTO POR ESCALAR k SUMA (RESTA) QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES PRODUCTO POR ESCALAR k SUMA (RESTA) -a ka a a+b a-b a b

QUIMICA CUANTICA VECTORES SISTEMA DE COORDENADAS a = ( a1 , a2 ) Notación columna o fila: Vectores base: a a2 a1 j i y x

QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES Producto por un escalar k: Suma (Resta): Producto escalar: Con vectores columna: a b θ

QUIMICA CUANTICA VECTORES OPERACIONES 4) Longitud: En columnas: 5) cos (θ): Reemplazando el módulo en producto escalar

QUIMICA CUANTICA VECTORES CAMBIO DE SISTEMA DE COORDENADAS S (XY)  S’ (X’Y’) i’=(cos θ, sen θ) j’=(-sen θ, cos θ) Para un vector cualquiera: Matricialmente: θ j’ j i’ i y x y’ x’ x’ y’ a’1 a’2 a2 a1 a θ j’ j i’ i y x

QUIMICA CUANTICA MATRICES Arreglo rectangular de números, ordenados en filas y columnas indicadas por los subíndices: i, j. Por ejemplo las matrices C, D y X: 2x2 2x3 2x1 Vectores en forma matricial: A’ = Q A  

QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES Producto por un escalar: Suma (Resta) de matrices: Matriz Cero

QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 3) Producto de matrices: A . B = C Restricción: A . B = C MxN NxL MxL CONMUTADOR:

QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 3) Producto de matrices: vectores Vimos producto escalar Con matrices: Matriz columna y matriz fila El producto escalar:

QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 4) Matriz Transpuesta: Matriz transpuesta de la matriz A es la matriz Ā que se obtiene intercambiando filas por columnas. MATRICES CUADRADAS 5) Matriz Simétrica: La matriz A={aij} es simétrica si se cumple para todo elemento que aij = aji. En consecuencia, toda matriz simétrica coincide con su transpuesta.

QUIMICA CUANTICA MATRICES OPERACIONES CON MATRICES 6) Matriz Diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal son iguales a cero. Para todo i ≠ j  dij = 0 7) Matriz Unidad: 8) Matriz Inversa: La matriz A-1 es la inversa de A si se cumple:

QUIMICA CUANTICA MATRICES 6) Matriz Ortogonal: Sus columnas son vectores mutuamente ortogonales. Verificar para Cumplen: 

QUIMICA CUANTICA MATRICES FUNCION VECTORIAL LINEAL Produce la transformación lineal de un vector x en otro y en el mismo sistema de coordenadas. Es lineal: y x x2 x1 j i y1

QUIMICA CUANTICA VECTORES EN R3 Se agrega el producto vectorial: VECTORES Y MATRICES EN Rn Se cumplen las operaciones anteriores.

QUIMICA CUANTICA MATRICES CUADRADAS: 2 USOS Función Vectorial Lineal: Transforma X en Y dentro del mismo Sistema de coordenadas. Corresponde también a: Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Vale para sistemas de NxN. y x x2 x1 y1

QUIMICA CUANTICA Ejemplo: Dado un sistema de N ecuaciones con N incógnitas Se resuelve invirtiendo la matriz A de los coeficientes de las incógnitas:

QUIMICA CUANTICA MATRICES CUADRADAS: 2 USOS 2) Transformación ortogonal: Q permite determinar las coordenadas X’ de un vector en un nuevo sistema S’ a partir de las coordenadas X del mismo vector en un sistema viejo S. x’1 x’2 x2 x1 x θ S S’

f es un tensor representado por una matriz cuadrada en cada sistema. QUIMICA CUANTICA TENSORES TRANSFORMACION DE SIMILITUD Se consideran los dos casos simultáneamente (1 y 2): Sea f una función vectorial lineal representada por A en el sistema S y por A’ en el sistema S’. Conocidas: Luego: f es un tensor representado por una matriz cuadrada en cada sistema. S y x A X Y S’ A’ X’ Y’

QUIMICA CUANTICA VECTORES, MATRICES, TENSORES DIAGONALIZACIÓN Sea f un tensor representado por A (simétrica) en el sistema S, entonces habrá una transformación Q que lleve a un sistema S’ en el cual el tensor está representado por una matriz diagonal D: Luego: donde: Entonces es posible separar: Cada ecuación es el Problema de Autovalores y Autovectores.

QUIMICA CUANTICA VECTORES, MATRICES, TENSORES DIAGONALIZACIÓN Problema de Autovalores y Autovectores. Dada A simétrica, encontrar los valores de q y de d que satisfacen las N ecuaciones. Ejemplo: Reordenando: Sistema homogéneo. Determinante Secular: Se obtiene: MatLab: [Q, D] = EIG(A)

QUIMICA CUANTICA NUMEROS COMPLEJOS a y b números reales. “i” es la unidad imaginaria: Conjugación: si  Dados : Operaciones con conjugados: -b a z* Eje imaginario Eje real z b y x

QUIMICA CUANTICA MATRICES COMPLEJAS Sus elementos son números complejos. La mismas operaciones excepto con conjugados. MATRIZ ADJUNTA de A: Transpuesta de A: MATRIZ HERMITICA: Simétrica: MATRIZ UNITARIA: Ortogonal:

QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) ANALOGIA CON VECTORES El conjunto base cumple Cualquier otro vector a Que es una Combinación Lineal de los vectores base. También: en general: a1 a2 i1 i2 a y x

QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) FUNCIONES Sea el conjunto base que cumple En la notación de Dirac: Cualquier otra función  se puede expresar como Combinación Lineal de las funciones base: En general: c1 c2 1 2  y x

QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) ANALOGIA DE VECTORES Y FUNCIONES Vectores Funciones Base Ortogonal Otro vector Otra función Combinación lineal de los vectores base Combinación lineal de las funciones base

QUIMICA CUANTICA ESPACIOS FUNCIONALES (ESPACIOS DE HILBERT) PRODUCTO ESCALAR DE FUNCIONES Dadas las funciones