Cátedra de Física Experimental I- Física II - 2011 Sr/rta. Alumno/a: El material de esta presentación es SOLO una guía para el estudio de la Unidad 3: ONDAS MECANICAS. Para presentarse a rendir el Examen Final de la Asignatura Ud. DEBERÁ estudiar de la bibliografía indicada al comienzo de la Unidad 3 (página 17 de la cartilla de Trabajos Prácticos) Cátedra de Física Experimental I- Física II - 2011 Cátedra de Física Experimental I- Física II - 2010

MOVIMIENTO ONDULATORIO El movimiento ondulatorio es un fenómeno muy común: las olas en la superficie del agua, el movimiento transversal a lo largo de una cuerda tensa, la vibración de un resorte, el sonido. Los físicos han extendido el concepto de onda a un número mayor de fenómenos que no se asemejan a los mencionados. Corresponden a situaciones físicas descritas por un campo dependiente del tiempo que se propaga en el espacio y en el tiempo

Existen varios tipos de ondas Existen varios tipos de ondas. Nosotros estudiaremos las ONDAS MECÁNICAS. Se trata de situaciones físicas producidas en un punto del espacio, que se propagan a través de éste y se perciben más tarde en otro punto. Sea un cuerpo en equilibrio, sin deformación. Se golpea fuertemente sobre la superficie, produciendo una deformación instantánea en la región del impacto (punto P). Se comprueba experimentalmente que la deformación no permanece localizada en las vecindades de P, sino que se propaga por todo el cuerpo. P Q r r (t)

P Q r r (t) Se comprueba que la deformación en un punto Q distante comienza un intervalo finito de tiempo después del instante del golpe inicial. Indicando esto que: la deformación se propaga con una velocidad finita. Este fenómeno representa la propagación de una onda, una onda elástica. No hay transporte de materia: los puntos del cuerpo se desplazan sólo muy poco de su posición de equilibrio inicial. “Lo que llega” de P a Q no es materia, sino una señal. La propagación de una onda no involucra transporte de materia, ella representa un transporte de energía. El trabajo que realizan las fuerzas externas durante la percusión inicial, se reparte en forma de energía elástica por el cuerpo a medida que la onda avanza por el, ya que cuando alcanza el punto Q debe realizar un trabajo en su entorno para producir la deformación. Se puede realizar un trabaja “a distancia”.

Ondas elásticas: a) un resorte; b) un gas; c) una cuerda tensionada Los diferentes tipos de ondas ilustrados en la figura son básicamente ondas que resultan de una perturbación en algún punto del medio cuando podemos ignorar su estructura molecular y suponerlo continuo. Suposición valida siempre que la variación espacial de la onda (determinada por su longitud de onda, λ) sea grande comparada con la separación intermolecular

Consideremos una función ξ = f (x), representada gráficamente por la curva continua de la figura. Si sustituimos x por (x-x0), obtenemos la función: ξ = f ( x - x0) La forma de la curva no cambia, se tiene el mismo valor de ξ para valores de x aumentados en la cantidad x0. De forma parecida, tenemos que ξ = f ( x + x0) corresponde a un desplazamiento de la curva hacia la izquierda una longitud x0. ξ = f (x - x0) ξ ξ = f (x) ξ = f (x + x0) x x0 x0

Si x0 = v t, donde t es el tiempo, obtenemos una curva viajera; esto es ξ = f (x – v t), representa una curva que se mueve hacia la derecha con velocidad v, conocida como velocidad de fase. De igual manera ξ = f (x + v t), representa una curva que se desplaza hacia la izquierda con velocidad v. Por lo tanto: ξ (x , t) = f ( x ± v t ) Describe una situación física que “viaja” o se “propaga” sin sufrir deformación a lo largo del eje x positivo o negativo. ξ (x , t), representa una diversidad de situaciones físicas, como la deformación de un sólido, la presión de un gas, el desplazamiento transversal en una cuerda.

ONDAS ARMONICAS Caso interesante es cuando la función de onda, y (x , t) es una función armónica. Por ejemplo una función seno que avanza en la dirección de + x, y (x , t) = A sen k (x – v t +) La magnitud k, tiene un significado especial. Si se reemplaza x por x + 2/k, se puede probar que: y (x + 2/k , t) = y (x , t) Entonces la magnitud λ= 2/k , se conoce como longitud de onda, es el “periodo espacial ” de la curva que se repite cada longitud de onda λ.

y (x , t) = A sen 2/ λ (x – v t +) La magnitud k = 2/ λ , representa el número de longitudes de onda que hay en la distancia 2 y se conoce como número de onda. Por lo tanto la función de onda y ( x, t), armónica que se propaga hacia la derecha a lo largo del eje x, puede escribirse también como: y (x , t) = A sen k (x – v t +) y (x , t) = A sen 2/ λ (x – v t +) y (x , t) = A sen (k x – ω t +2) donde ω, es la frecuencia angular de la onda, igual a ω = 2 f, donde f es la frecuencia con que la situación física varia en cada punto x. ω = k v = 2  v/ λ = 2 f v = λ f Relación entre la longitud de onda, la frecuencia y la velocidad de propagación.

y (x , t) = A sen 2 (x/ λ – t /T+) Si ( = 0) y A Si T es el periodo de oscilación en cada punto, dado por T = 2 /ω = 1/f, la función de onda puede tomar la forma: y (x , t) = A sen 2 (x/ λ – t /T+)

Combinando λ f = v y T=1/f, se obtiene: λ = v/f. Onda armónica que se propaga hacia la derecha. Recorre una distancia λ en un tiempo T. y A medida que la situación física se propaga hacia la derecha, esta se repite después de un tiempo igual a un periodo T. Combinando λ f = v y T=1/f, se obtiene: λ = v/f. Lo que muestra que: La longitud de onda, λ, es la distancia que recorre el movimiento ondulatorio en un periodo, T.

En el movimiento ondulatorio armónico tenemos dos periodicidades: una en el tiempo, dada por el periodo T, y la otra en el espacio, dada por la longitud de onda, λ. λ = v T

ECUACIÓN DIFERENCIAL DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO Considerando la función de onda que avanza en la dirección de + x, y (x , t) = A sen (k x –  t) la velocidad de la partícula en x, se obtiene derivando y (x , t) respecto a t y manteniendo x constante, vy (x , t) = - A cos (k x –  t) y la aceleración de la misma en función del tiempo es: ay (x , t) = - 2A sen (k x –  t) = - 2 y (x , t) ( = 0)

Las derivadas de y (x , t) respecto a x, manteniendo t constante , ecuación de onda

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN Ondas longitudinales a lo largo de una varilla Cuando se produce una perturbación en un extremo de una varilla sólida, la perturbación se propaga con una velocidad v, a lo largo de la varilla y finalmente llega al otro extremo. La velocidad v depende de las propiedades físicas de la varilla. Si la varilla tiene sección transversal A y esta sujeta a un esfuerzo a la largo del eje, indicado por la fuerza F. En cada sección transversal existen 2 fuerzas iguales y opuestas: una es la fuerza de tracción ejercida sobre la parte izquierda debida a la parte derecha y la otra sobre la parte derecha ejercida por la izquierda.

Bajo la acción de estas fuerzas, cada sección de la varilla sufre un desplazamiento paralelo al eje. En el caso en que haya una deformación, el desplazamiento varia a lo largo de la varilla, para lo cual la fuerza F también debe tener una variación similar. Supongamos que la varilla esta sujeta por el extremo izquierdo y que estiramos el otro, de manera que la varilla tenga un alargamiento. La separación entre A y A’ en el estado deformado es dx + dy. Por consiguiente la deformación longitudinal será: ε = dy/dx dy

dy Por la ley de Hooke, σ = E ε , y por definición de esfuerzo, σ = F/A entonces F, toma la forma: F= E A dy/dx (donde E es el Modulo de Young del material de la varilla). Cuando la varilla no esta en equilibrio, la fuerza sobre cada sección no es la misma a lo largo de la varilla. Como resultado de ello, la sección de la varilla de grosor dx está sometida a una fuerza neta o resultante. Así el lado A’ de la sección esta sometida a la fuerza F’ que apunta hacia la derecha y el lado A esta sometido a la fuerza F que apunta a la izquierda.

dy La fuerza neta hacia la derecha sobre la sección será F’- F, que produce un movimiento acelerado de la sección de la varilla. Aplicando las leyes de Newton de la dinámica a la sección se obtiene que el desplazamiento satisface la ecuación diferencial de la onda si la velocidad de propagación tiene la forma: ρ es la densidad del material de la varilla

F’– F = dF si ρ = dm/dV, entonces dm = ρ dV= ρ A dx La aceleración de dm es: y si aplicamos la 2da ley de Newton de la dinámica, Entonces, Reordenando, Vimos que F = EA dy/dx. Si deriva ambos miembros respecto a x, se obtiene:

Como los primeros miembros son iguales los segundos deben serlo. Por lo cual tenemos: Simplificando A y reordenando se obtiene:

VELOCIDAD DE PROPAGACIÓN una onda longitudinal en la varilla una onda transversal en la varilla (esfuerzo corte) una onda transversal en una cuerda (no posee elasticidad natural), si F es la fuerza aplicada y  la densidad lineal (la masa por unidad de longitud)  en un fluido, una onda longitudinal tiene

Onda transversal en cuerda bajo tensión Equilibrio Onda transversal en cuerda bajo tensión Onda longitudinal en un fluido

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Cuando varias ondas se combinan en un punto, el desplazamiento de una partícula cualquiera del medio, en determinado momento, es simplemente la suma de los desplazamientos que podrían producir las ondas que actúan de manera individual. Supongamos, por ejemplo, que dos ondas se desplazan simultáneamente a través de una misma cuerda estirada. Sean y1 (x,t) y y2 (x,t), los desplazamientos que experimentaría si cada onda operara por su cuenta . Entonces el desplazamiento de la cuerda cuando actuan ambas ondas será: y (x,t) = y1 (x,t) + y2 (x,t) En las ondas mecánicas de medios elásticos se cumple el principio de superposición, siempre que la fuerza restauradora varíe en forma lineal con el desplazamiento.

Dos pulsos de onda que viajan en sentidos opuestos. Los pulsos tan solo se mueven uno a través de otro, desplazándose como si no existiera el otro.

IMPORTANTE: El Principio de superposición parece demasiado obvio, pero hay casos en que no se cumple. Por ejemplo, si una de las ondas tiene una amplitud tan grande que excede el limite elástico del medio. La fuerza de restauración deja de ser directamente proporcional al desplazamiento de una partícula del medio. Entonces, sin importar la amplitud de la segunda onda, su efecto en un punto no es una función lineal de su amplitud.

INTERFERENCIA DE ONDAS Cuando dos o mas ondas se combinan en un punto determinado, se dice que interfieren, y a este fenómeno se le conoce como interferencia. Dos trenes de ondas: rizos circulares debidos a dos perturbaciones interfieren en determinados puntos

Interferencia Constructiva (se refuerzan) Interferencia Destructiva (se cancelan)

y1 = A sen (kx - t +1) ; y2 = A sen (kx - t +2), entonces Como ejemplo, consideremos 2 trenes de ondas cuyas ecuaciones son: y1 = A sen (kx - t +1) ; y2 = A sen (kx - t +2), entonces y = y1 + y2 Usando la trigonometría, convertimos la suma de estas 2 funciones en productos de senos y cosenos El producto 2 A cos (1 - 2 /2) = B es la amplitud de la suma.

BATIDO O PULSACIÓN Consideremos el caso de 2 ondas sonoras armónicas de frecuencias poco diferentes: 1 , 2. Sea 1 > 2. y1 = A sen (k1x - 1 t +1) y2 = A sen (k2x - 2t +2) Como el oído no percibe diferencias de fase podemos omitir 1 y 2 en la escritura. Por otro lado, nos conviene escribir las ecuaciones pasadas, de la forma siguiente:

Podemos simplificar aún más si anclamos el referencial ( x = 0) en el tímpano, y analizamos la oscilación resultante: Interpretamos este resultado como una onda senoidal de frecuencia (f1 + f2)/2, cuya amplitud es variable con el tiempo y está modulada por una función coseno de frecuencia (f1 - f2)/2. La intensidad del sonido es proporcional al cuadrado de la amplitud A, por lo cual y al tratarse de la combinación de 2 ondas sonoras, el oído percibe una frecuencia dada por (f1 + f2)/2, con una intensidad variable con una frecuencia f1 - f2, que se llama pulsación sonora o batido. El oído percibe pulsaciones si f1 - f2 < 10 Hz

Representa una onda viajera cuya amplitud varía en el tiempo f1 = 401 Hz, f2 = 400 Hz Representa una onda viajera cuya amplitud varía en el tiempo

f1 = 400,5 Hz, f2 = 400 Hz f1 = 410 Hz, f2 = 400Hz f1 = 440 Hz, f2 = 400Hz

¿Qué se propaga en el movimiento ondulatorio? Se propaga o transfiere energía y momentum ENERGIA DE LA ONDA Supongamos tener una onda armónica simple longitudinal que se propaga a lo largo del eje x por un medio sólido y (x , t) = A sen (k x –  t) (1) Una porción del medio en la que se propaga esta onda posee energía cinética y energía potencial elástica debida a la deformación que experimenta el medio perturbado por la onda. La energía cinética de la porción del medio, de volumen , es Ec = ½ m vy2 , donde m es la masa del elemento de volumen considerado, y vy la velocidad con que se están desplazando sus partículas. Como vy = dy/dt , por (1) tenemos que, vy = dy/dt = -A cos (kx - t), lo que permite escribir la energía cinética como: Ec = ½   A22 cos2 (kx - t) (2)

La energía potencial de un sólido elástico, sometido a esfuerzos de compresión y tracción por lo que experimenta deformaciones relativas L/L, puede escribirse en función del módulo de elasticidad E. La energía potencial elástica de una porción de longitud L y sección S es Ep = ½ (ES/L) L2. Multiplicando y dividiendo por L queda, Ep = ½ (ESL)( L/L)2 , pero SL es el volumen  , de modo que podemos escribir la energía potencial como Ep = ½ E  ( L/L)2 Pero L/L puede escribirse, en el caso de la deformación producida por la onda, como dy/dx, de modo que derivando (1) con respecto a x, y reemplazando, podemos escribir finalmente la Ep como sigue: Ep = ½ (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t) (3) donde v es la velocidad de propagación de la onda

Ec = ½   A22 cos2 (kx - t) (2) Ep = ½ (E A2 2 /v2 ) cos2 (kx - t) (3) Observando las expresiones (2) y (3) obtenidas, comprobamos que la energía cinética y la energía potencial varían en fase, alcanzando simultáneamente sus valores máximos y mínimos. Esta es una diferencia fundamental con lo que ocurre para el caso de una partícula aislada que oscila con MAS, para la cual la energía mecánica se mantiene constante, alternándose los valores máximos y mínimos de la Ec y de la Ep. En el caso de un medio continuo, como vemos, la energía de una porción del medio no se mantiene constante y se traslada a otra parte vecina, explicándose así el transporte de energía que caracteriza a los fenómenos ondulatorios.

La energía mecánica de la porción del medio considerada resulta ser, EM = Ec + Ep EM = ½   A22 cos2 (kx - t) + ½ (E  /v2 ) A22 cos2 (kx - t) Pero como la velocidad de propagación v es igual a , la energía mecánica del elemento de volumen  es proporcional a , A2 y 2 , e igual a : EM =   A22 cos2 (kx - t) = f (, A2, 2) (4)

INTENSIDAD DE LA ONDA I = 2 2 f2 A2  v Intensidad de la onda es la energía que fluye por unidad de tiempo a través de un área perpendicular a la dirección de propagación. I = 2 2 f2 A2  v a) Onda plana. Los planos representan frentes de onda separados por una longitud de onda, las flechas representan los rayos. b) Onda esférica. Los frentes de ondas separados por una longitud de onda son superficies esféricas. b) a )

Variación de I con la distancia a la fuente El movimiento de los frentes de ondas se pueden representar mediante rayos perpendiculares a los f. de onda Variación de I con la distancia a la fuente Si un foco puntual emite ondas uniformemente en todas direcciones, la energía a una distancia r del mismo estará distribuida uniformemente sobre una corteza esférica de radio r y superficie 4r2. Si la potencia media emitida por el foco es P, la potencia por unidad de área a una distancia r del foco será P/ (4r2), que es la intensidad I de la onda.

Frentes de onda circulares que divergen a partir de un foco puntual en una cubeta de ondas Cátedra de Física Experimental I- Física II - 2010

Reflexión de ondas Fenómeno de la reflexión: Tiene lugar cuando una onda que se propaga en un medio incide en la superficie de separación con otro medio diferente.  Reflexión de ondas mecánicas que se propagan en cuerdas, membranas, columnas de aire,...  Reflexión de una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa Reflexión depende de las condiciones de borde o de contorno, y de las características físicas y mecánicas del medio. Anclaje fijo extremo fijo Anclaje móvil extremo libre

Extremo fijo: onda reflejada que viaja en la dirección opuesta a la onda incidente. Inversión de fase de π. Extremo libre: onda reflejada con desplazamiento en la misma dirección de la onda incidente. No hay inversión de fase.

ONDAS ESTACIONARIAS Cuando las ondas están confinadas en el espacio (cuerda de piano, ondas sonoras en un tubo de órgano, o luminosas en un laser) se producen reflexiones en ambos extremos, por lo cual existen ondas que se mueven en ambos sentidos. Cuerda fija en su extremo izquierdo y el extremo derecho se coloca un dispositivo que genere un M.A.S.

Según el Principio de Superposición, el movimiento resultante de la combinación de ambas ondas que viajan en sentidos opuestos es una onda estacionaria. Onda viajera: - amplitud constante - configuración de la onda se mueve con una rapidez igual al de la onda Onda estacionaria: - amplitud varia - configuración de la onda permanece en la misma posición en la cuerda

Si aumenta la frecuencia f de la oscilación, disminuye la longitud de onda, λ Nodos: Desplazamiento resultante cero. Interferencia Destructiva Antinodos o vientres: Máximo desplazamiento. Interferencia Constructiva

ONDA ESTACIONARIA en una cuerda con extremo fijo Consideremos el eje x coincidente con la posición de equilibrio de la cuerda, los desplazamientos se miden en el eje y. Las ondas incidente y reflejada son de la forma siguiente: y1 (x , t) = A sen (k x +  t) y2 (x , t) = A sen (k x -  t) y1 onda que viaja hacia la izquierda, o. incidente y2 onda que viaja hacia la derecha, o. reflejada Sumando ambas expresiones y aplicando las relaciones trigonométricas necesarias, obtenemos: y (x , t) = 2A sen k x cos  t ONDA ESTACIONARIA en una cuerda con extremo fijo

y (x , t) = 2A sen (2/) x cos (2/T) t La amplitud de la onda estacionaria es 2 veces la amplitud A de cualquiera de las ondas viajeras. Otra forma de escribirla es: y (x , t) = 2A sen (2/) x cos (2/T) t Esta expresión tiene 2 factores: una función de x y una función de t. El factor 2A sen k x indica que en cada instante la forma de la cuerda es una curva senoidal y permanece en la misma posición, oscilando verticalmente según el factor cos  t. Cada punto de la cuerda oscila con un M.A.S., pero todos los puntos que están entre cualquier par sucesivo de nodos oscilan en fase, a diferencia en una onda viajera en que hay una diferencia de fase entre las oscilaciones de puntos adyacentes.

Para determinar las posiciones de los nodos, son los puntos en que sen k x = 0, de modo que el desplazamiento es siempre cero. Esto se da para: kx = 0, , 2 , 3 , etc, entonces: x = 0, /k, 2/k, 3/k, etc, o x = 0, /2, 2/2, 3/2, etc. Hay un nodo en x =0, como debía ser ya que es un punto fijo. Dos nodos adyacentes están separados /2, así que la longitud L de la cuerda debe ser: L = /2; 2 /2; 3 /2; 4 /2; ó

n = 1, 2, 3,… Existen ondas con distribución estable de nodos y vientres Si λ ≠ λn también pueden existir ondas, pero no con distribución estable de nodos y vientres. Por lo tanto, la frecuencia del enésimo armónico es: n = 1, 2, 3,... Relación entre frecuencias de resonancia con la velocidad de onda en la cuerda y la longitud de la misma

Por consiguiente a ciertas frecuencias se obtienen patrones de ondas estacionarias. Las frecuencias que producen estos patrones se denominan frecuencias de resonancia del sistema de la cuerda. Cada una de estas frecuencias y la función de onda que la acompaña se llama modo de vibración. La f. más baja se llama frecuencia fundamental f1 (modo fundamental o 1er armónico), la 2da. más baja f2, tiene una frecuencia que es el doble de f1, y se denomina 2do armónico. n = 1, 2, 3,...

 El conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia.  No todas las frecuencias reciben la denominación de armónicos sino únicamente aquellas del espectro de frecuencias resonantes que son un múltiplo entero de la frecuencia fundamental (Si λ ≠ λn también pueden existir ondas, pero no con distribución estable de nodos y vientres) Un oscilador armónico simple con fuerza impulsora armónica, posee sólo una frecuencia natural, mientras que una cuerda vibrante posee una serie armónica.

Las frecuencias de resonancia también se denominan frecuencias naturales de la cuerda. Cuando la frecuencia del dispositivo que genera el M.A.S., no coincide con ninguna frecuencia de las frecuencias naturales de la cuerda vibrante, no se producen ondas estacionarias El viento produjo ondas estacionarias en el puente de Tacoma Narrows. Nov 1940.

Una onda estacionaria a diferencia de una onda viajera, no transfiere energía de un extremo a otro. No hay flujo de energía de un punto a uno vecino.

EFECTO DOPPLER Cuando la fuente de una onda y el observador están en movimiento relativo con respecto al medio en que se propaga la onda, la frecuencia de las ondas observadas es diferente de la frecuencia de la fuente. Este fenómeno se denomina efecto Doppler, en honor a Christian Doppler (1803-1853), quien fue el primero en observarlo en ondas sonoras. Ej.: cambio de tono de la bocina de un auto cuando éste se acerca o se aleja de nosotros.

Efecto Doppler debido a una fuente en movimiento Efecto Doppler debido a una fuente en movimiento. La foto ilustra el efecto en una superficie líquida. Los frentes de onda se encuentran más próximos delante de la fuente o foco y más separados detrás de él. En (b), los frentes de onda sucesivos emitidos por un foco puntual que se mueve hacia la derecha con una velocidad uf. Los f. de onda numerados fue emitido cuando el foco esta- ba en la posición a la que corresponde el mismo número.

Si todos los movimientos se consideran relativos al medio, se puede probar que la frecuencia f´ que percibe el observador, si se encuentra en reposo (fuente en movimiento, con velocidad uf) está dada por : En el caso en que el observador se encuentra en movimiento, con velocidad vo, pero la fuente está en reposo, se puede probar que la frecuencia f´ que percibe el observador está dada por : relativo al medio.

En el caso general en el que observador y la fuente están ambos en movimiento la frecuencia f´ que percibe el observador es: Signos: La elección correcta del signo se determina recordando que la frecuencia tiende a aumentar cuando el foco se mueve hacia el observador o cuando éste se mueve hacia el foco. Ej.: Si el observador se mueve hacia el foco en el numerador se selecciona el signo positivo, lo cual tiende a incrementar la frecuencia recibida. Si el foco se aleja del observador se aplica al denominador el signo positivo, lo cual induce que la frecuencia recibida sea menor.