ONDAS Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera,

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1 ONDAS Antonio J. Barbero, Mariano Hernández, Alfonso Calera,
Pablo Muñiz, José A. de Toro and Peter Normile Departamento Física Apolicada. UCLM Animaciones tomadas de: Wikipedia y

2 Una onda es una perturbación periódica en el espacio y el tiempo capaz de propagar energía. La ecuación de ondas es la descripción matemática del modo en que dicha perturbación se propaga en el espacio y el tiempo. Vibración Propagación Propagación Vibración Ondas transversales: Las oscilaciones ocurren perpendicularmente a la dirección de propagación en que se transfiere la energía de la onda. Así ocurre por ejemplo en una onda viajera en una cuerda tensa, en este caso la magnitud que varía es la distancia desde la posición horizontal de equilibrio. Ondas longitudinales: Aquellas en que la dirección de propagación coincide con la dirección de vibración. Así el momvimiento de las partículas del medio es o bien en el mismo sentido o en sentido opuesto a la propagación de la onda. Por ejemplo, la propagación del sonido en un fluido: lo que cambia en este caso es la presión en el medio. Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales.

3 INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
La ecuación de onda describe una onda viajera si está presente el grupo (x  vt). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después. Espacio Tiempo Velocidad de fase Ecuación de ondas Signo - X Y La onda viaja hacia la derecha Forma de onda (perfil) f Signo + La onda viaja hacia la izquierda X Y Forma de onda (perfil) f

4 ONDAS ARMÓNICAS ? Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno. Onda armónica moviéndose hacia la derecha Una cosa más Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico. o Ecuación de onda  es una distancia Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial 0 al argumento de la función… … lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia. Por ejemplo: Si la onda alcanza un máximo en t = 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces 0 = 0 y nos queda ¿Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno? y depende sólo del tiempo Respuesta: Esto describe exactamente la misma onda Perfil de onda en t = 0 Recordatorio:

5 ONDAS ARMÓNICAS / 2 Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno)
Periodo Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno) Recordatorio: la función coseno es periódica, verificando que. Fase Desplazamiento Espacio Tiempo Fase inicial Amplitud Velocidad de fase espacio Las ondas armónicas exhiben doble periodicidad tiempo Longitud de onda Puntos en fase Cresta Perfil de onda para t = t0 y x Dependencia temporal en x = x0 t y A Period -A Valle Foto instantánea Gráfica posición / tiempo

6 ONDAS ARMÓNICAS / 3 Ec. de onda armónica (eligiendo forma coseno) Fase
Desplazamiento Espacio Tiempo Desplazamiento : valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio y tiempo. Su valor máximo es la amplitud A. Fase inicial Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es 2. . Amplitud Velocidad de fase Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (2 radianes). A veces se le llama número de ondas angular o número de ondas circular. Periodo T: tiempo que tarda la fase de la onda armónica en aumentar 2 radianes. Unidades S.I.: rad/m, pero a menudo se indica solo m-1. Frequencia f: inversa del periodo. La frecuencia nos dice el número de oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades S.I.: s-1 (1 s-1 = 1 Hz). 1st onda 2nd onda 3rd onda Frecuencia angular : número de oscilaciones en un intervalo de fase de 2 radianes. La velocidad de fase está dada por En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de onda se escribe como

7 EJEMPLOS Ejemplo 1: pulso viajero Ecuación de onda
El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de 0.50 m/s donde x, y están en m, t en s, v = 0.50 m/s Gráfica de y en función del tiempo (instantánea) t = 10 t = 5 x (m) y (m) t = 0 Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.

8 Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.
EJEMPLOS / 2 Ejemplo 2: pulso viajero Ecuación de onda Este pulso se mueve hacia la izquierda (sentido negativo del eje X) a razón de 0.50 m/s. Véase que vt = t/2. donde x, y están en m, t en s Escribamos la ecuación de onda de modo que el grupo x+v·t aparezca explícitamente Gráfica de y en función del tiempo (instantánea) x (m) y (m) t = 0 t = 2 t = 4 Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado.

9 EJEMPLOS / 3 Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 1.00 m/s Ejemplo 3: onda armónica viajera Onda armónica donde x, y están en m, t en s Comparar con x (m) y (m) t = 0 t = 1 t = 2

10 EJEMPLOS / 4 Ejemplo 4 Onda armónica
Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad de 0.50 m/s donde x, y están en m, t en s Número de ondas y frecuencia y (m) Comparando A = 1 m, y Velocidad de fase x (m)

11 VELOCIDAD DE LAS ONDAS MECÁNICAS
Las ondas mecánicas necesitanun medio material para propagarse Y su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio. Módulo de compresibilidad Fluidos   densidad del fluido (kg/m3) Módulo de Young Solidos   densidad del sólido (kg/m3) Cuerda tensa   densidad lineal de masa (kg/m) VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DE LAS PARTÍCULAS DEL MEDIO Velocidad máxima Aceleración máxima

12 Potencia transmitida por la onda
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS EN UNA CUERDA Consideremos una onda transversal en una cuerda. Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico. Cada sección de la cuerda (masa Dm) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda. Puesto que en un punto fijo k.x0 ie constante, podemos escribir que A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento Dm en la posición fija x0 Esta es la ecuación del movimiento armónico descrito por el elemento de masa Dm. La frecuencia angular de ese movimiento es w. Recordemos que la energía de una masa Dm en un movimiento armónico de frecuencia angular w y amplitud A está dada por Velocidad máxima Potencia transmitida por la onda Sea m la masa de la cuerda por unidad de longitud Dx Unidades: Julio/s = watio

13 Sistema mecánico vibrante. Variaciones de densidad en el medio
EL SONIDO Sistema mecánico vibrante. Variaciones de densidad en el medio Onda mecánica. Transporte de energía Mayor amplitud de vibración A Frecuencia de vibración característica (depende del sistema) A Menor amplitud de vibración

14 ONDAS DE PRESIÓN EL SONIDO / 2 Máximos de presión Mínimos de presión
Figura 1 Mínimos de presión La velocidad del sonido aumenta cuando aumenta la rigidez del medio. Sólidos Velocidad del sonido Líquidos Gases

15 LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGÍA: ONDAS SONORAS
En el sonido la vibración de las partículas ocurre en la misma dirección de la transmisión de la onda: son ondas longitudinales. A la vibración de las partículas del medio les corresponden desplazamientos s(x,t) cuyo valor máximo llamaremos aquí s0: En la transmisión del sonido, la masa vibrando en cada punto será la que corresponda al volumen elemental DV que contiene a dicho punto, esto es Dm = ρ DV. La energía asociada con esta vibración es: A tales desplazamientos les corresponden variaciones de presión alrededor de un valor de equilibrio p0, que se encuentran desfasadas /2 rad respecto a ellos donde Energía movimiento armónico En términos de energía por unidad de volumen

16 INTENSIDAD DE LAS ONDAS: APLICACIÓN AL SONIDO
Para una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación Frentes de onda Rayos Fuente Como la energía por unidad de volumen es

17 Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente
NIVELES Un NIVEL es el logaritmo de la razón de una cantidad dada respecto de una cantidad de referencia del mismo tipo. Al definir un nivel es preciso indicar la base del logaritmo, la cantidad de referencia y el tipo de nivel (por ejemplo, nivel de presión sonora, nivel de potencia sonora o nivel de intensidad) Nivel de potencia sonora: Emisión de sonido por una fuente Potencia de referencia: W0 = W Nivel de intensidad sonora: Recepción del sonido de una fuente Intensidad de referencia: I0 = w/m2 Umbral de audición: w/m2 (0 dB) Umbral de dolor: 1 w/m2 (120 dB)

18 NIVELES: EJEMPLO a) Si se dobla la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad? b) Si se multiplica por 10 la intensidad de un sonido, ¿qué variación sufre el nivel de intensidad? Se dobla la intensidad Se multiplica por 10 la intensidad

19 EFECTO DOPPLER Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión. Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales Fuente alejándose del receptor Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor

20 EFECTO DOPPLER (2) Subíndice r (receptor) v  velocidad de la onda
fs  frecuencia de la fuente Alejamiento: signo + Acercamiento: signo  fr  frecuencia que mide el receptor us  velocidad de la fuente Ejemplo. Un tren pasa por una estación a una velocidad de 90 km por hora. La frecuencia del silbato del tren es 1320 Hz. ¿Qué frecuencia percibirá una persona en el andén de la estación cuando el tren se acerca y cuando el tren se aleja? Suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s. Subíndice s (fuente) Acercándose Alejándose

21 EFECTO DOPPLER (3) El desplazamiento al rojo Galaxia de Pegaso
Galaxia de Andrómeda

22 ONDAS ESTACIONARIAS Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos ondas armónicas de iguales amplitudes y frecuencias que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su equación no contiene términos de la forma (k x - t). Ejemplo sencillo de formación de ondas estacionarias: una onda viajera transversal que se propaga hacia la derecha () en una cuerda tensa fija por sus extremos. Esta onda se refleja en el extremo derecho y da lugar a una nueva onda que se propaga hacia la izquierda (). Su combinación puede formar ondas estacionarias. Onda incidente, direccion (): Onda reflejada, direccion (): Cuando la onda viajera viajando hacia la derecha se refleja en el extremo, su fase cambia  radianes (se invierte). Cada punto de la cuerda tensa vibra describiendo un movimiento armónico de amplitud 2A sen kx: la amplitud de esta vibración depende de la posición, pero no del tiempo, pues el grupo kx-t no aparece. No es una onda viajera.

23 NO! ONDAS ESTACIONARIAS / 2
¿Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas? NO! Como los extremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento: La igualdad L = n/2 significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda. A partir de la relación entre frecuencia y longitud de onda f = v/, donde v es la velocidad de propagación, Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que La velocidad es n = 1  f1 frecuencia fundamental Ejemplo: 4o armónico n = 4 n+1 nodos n antinodos Nodo Nod0 Nodo Nodo Nodo n > 1  fn armónicos superiores Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo

24 Pesas para tensar la cuerda
ONDAS ESTACIONARIAS / 3 n = 1  f1 Frecuencia fundamental Onda estacionaria en una cuerda 7th ARMÓNICO n = 2  f2 2º armónico n = 3  f3 3er armónico Pesas para tensar la cuerda

25 ONDAS ESTACIONARIAS / EJEMPLO
Dos ondas viajeras de 40 Hz se propagan en sentidos opuestos a través de una cuerda tensa de 3 m de longitud dando lugar al 4º armónico de una onda estacionaria. La densidad lineal de masa de la cuerda es 510-3 kg/m. a) Calcular la tensión de la cuerda 4o armónico n = 4  de L = n/2 se obtiene b) La amplitud de los antinodos es 3.25 cm. Escribir la ecuación de este armónico de la onda estacionaria c) Calcular la frecuencia fundamental. La velocidad de propagación es constante, y la frecuencia fundamental cumple que (Todos los armónicos son múltiplos enteros de la frec. fundamental, luego f4 = 4 f1)