VALORES ESPERADOS DE FUNCIONES DISCONTINUAS Rikelvin Alcántara Reyes

Los problemas en probabilidad y estadística en ocasiones incluyen funciones que son parcialmente continuas. Primero, podemos estar interesados en las propiedades, por ejemplo, el valor esperado de una variable aleatoria g(Y) que es una función discontinua de una variable aleatoria discreta o continua Y. En segundo término, la variable aleatoria puede tener una función de distribución que es continua sobre algunos intervalos de manera que algunos puntos aislados tienen probabilidades positivas.

Ilustramos estas ideas con los siguientes ejemplos 4.8 Un vendedor minorista de un producto derivado del petróleo vende una cantidad aleatoria Y al día. Suponga que Y, medida en miles de galones, tiene la función de densidad de probabilidad.

La utilidad del minorista resulta ser de $100 por cada 1000 galones vendidos (10¢ por galón) si Y ≤ 1 y $40 extra por 1000 galones (4¢ extra por galón) si Y > 1. Encuentre la utilidad esperada del minorista para cualquier día determinado.

Suponga que Y denota la cantidad que paga por póliza en un año una compañía de seguros que proporciona seguro a automóviles. Para muchas pólizas, Y = 0 porque las personas aseguradas no están involucradas en accidentes. Para personas aseguradas que sufren accidentes, la cantidad pagada por la compañía podría ser modelada con una de las funciones de densidad que previamente hemos estudiado. Una variable aleatoria Y que tiene alguna de sus probabilidades en puntos discretos (0 en este ejemplo) y el resto disperso en intervalos, se dice que tiene una distribución mezclada. Denote con F(y) una función de distribución de una variable aleatoria Y que tiene una distribución mezclada.

Para todos los fines prácticos, cualquier función F(y) de distribución mezclada se puede escribir de manera única como Donde F1(y) es una función escalón de distribución, F2(y) es una función de distribución continua, c1 es la probabilidad acumulada de todos los puntos discretos y c2 = 1 – c1 es la probabilidad acumulada de todas las porciones continuas.

El siguiente ejemplo da una ilustración de una distribución mezclada Denote con Y la vida útil (en cientos de horas) de componentes electrónicos. Éstos fallan con frecuencia inmediatamente después de conectarlos en un sistema. Se ha observado que la probabilidad de falla inmediata es 1/4. Si un componente no falla de inmediato, la distribución

Hay sólo un punto discreto, y = 0, y este punto tiene probabilidad 1/4. Por tanto, c1 =1/4 y c2 = 3/4. Se deduce que, Y es una mezcla de las distribuciones de dos variables aleatorias, X1