TEMA 6 – SEMEJANZA 6.1 – Figuras semejantes Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.1 – Figuras semejantes Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes. Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales. Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

6.1 – Figuras semejantes: Planos TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.1 – Figuras semejantes: Planos Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales. es la razón de semejanza

TEMA 6 – SEMEJANZA 6.2 – Teorema de Tales Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.2 – Teorema de Tales Toda recta paralela a un lado de un triángulo, que corta a los otros dos lados, determina un triángulo semejante al grande. Los triángulos ABC y AB'C' son semejantes

6.3 – Semejanza de triángulos TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.3 – Semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.3 – Primer criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.  A = A‘ y B = B‘ C = C' Þ A' B' C' A' B' C' A B C B'' C'' Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y los ángulos iguales. Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.3 – Segundo criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. A' B' C' b' c' a' A' B' C' A B C a b c B'' C'' Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener un lado igual y ser los lados de ambos proporcionales a los del triángulo A'B'C' con la misma razón de proporcionalidad. Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

TEMA 6 – SEMEJANZA 6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.3 – Tercer criterio de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. y A A' = =  b' c' b c A' B' C' b' c' a' A' B' C' A B C a b c B'' C'' c Por el Teorema de Tales A'B''C'' y A'B'C' son semejantes. Por otra parte los triángulos ABC y A'B''C'' son iguales, por tener dos lados proporcionales con la misma razón de proporcionalidad y el ángulo comprendido igual. Por tanto ABC = A'B''C'' es semejante al triángulo A'B'C'.

TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema de Pitágoras 32 + 42 = 52 Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.4 – Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Si los lados de un triángulo verifican la relación de Pitágoras, el triángulo es rectángulo. 32 + 42 = 52

TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema del cateto Cateto c Cateto b Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.4 – Teorema del cateto Cateto c Cateto b c2 = n2 + h2 = = n2 + mn = = n(n + m) = = na b2 = m2 + h2 = = m2 + mn = = m(m + n) = = ma En un triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del cateto sobre la misma.

TEMA 6 – SEMEJANZA 6.4 – Teorema de la altura  Son ambos rectángulos Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.4 – Teorema de la altura Son ambos rectángulos  B B* = Los triángulos I y II son semejantes ya que: h2 = mn Se deduce que: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

6.5 – Áreas de figuras semejantes TEMA 6 – SEMEJANZA Matemáticas 4º E.S.O y 1º Bach. 6.5 – Áreas de figuras semejantes IA = 1 pA= 4 SA= 1 IB = 2 pB = 8 SB= 4 IC = 3 pC = 12 SC= 9 Cuadrado A Cuadrado B Cuadrado C