Factorización Scherzer Prohibida su copia o reproducción sin permiso del autor el fisicomatemático Raúl Scherzer Alcalde 582 Guadalajara, Jalisco, México

La factorización o escríbelo como una multiplicación Factor común, factorización por agrupación y por fórmula.

Las ocho factorizaciones básicas. Se inventaron como un procedimiento para convertir las sumas y restas de polinomios en productos o multiplicaciones.

Las ocho factorizaciones. Factor común. Por fórmula Por agrupación. Diferencia de cuadrados x 2 − y 2 = (x + y)(x − y) Diferencia de cubos x 3 − y 3 = (x − y)(x 2 + xy + y 2 ) Suma de cubos x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ) Trinomio cuadrado perfecto. Trinomio de la forma x 2 + bx + c. Trinomio de la forma ax 2 + bx + c.

FACTOR COMÚN

Factorización por término o factor común. Las reglas para encontrar el factor común son: 1)Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en todos los términos pero que sea la de menor exponente. 2)Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que divida a todos los coeficientes o números del polinomio. 3)Con los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el que llamaremos el término o factor común, luego dividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado de la división será el otro factor.

Factorización por término o factor común. 1)a 2 + ab = 2)b + b 2 = 3)x 2 + x = 4)3a 3 − a 2 = 5)x 3 − 4x 4 = 6)5m m 3 = 7)ab − bc = 8)x 2 y + x 2 z = 9)2a 2 x + 6ax 2 = 10)9a 3 x 2 − 18ax 3 = a (a + b) b(1 + b) x a2a2 (3a − 1) x3x3 (1 − 4x) 5m 2 (1 + 3m) b (a − c) x2x2 (y + z) 2ax (a + 3x) 9ax 2 (a 2 − 2x) (x + 1)

Factorización por término o factor común. 1)15c 3 d c 2 d 3 = 2)35m 2 n 3 − 70m 3 = 3)abc − abc 2 = 4)24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 5)14x 2 y 2 − 28x x 4 = 6)55m 2 n 3 x+110m 2 n 3 x 2 −220m 2 y 3 = 7)x − x 2 + x 3 − x 4 = 8)12m 2 n+24m 3 n 2 −36m 4 n 3 +48m 5 n 4 = 9)16x 3 y 2 −8x 2 y−24x 4 y 2 −40x 2 y 3 = 10)3a 2 b+6ab−5a 3 b 2 +8a 2 bx = 15c 2 d 2 (c + 4d) 35m 2 (n 3 − 2m) abc 12xy 2 (2a 2 − 3xy 2 ) 14x 2 (y 2 − 2x + 4x 2 ) 55m 2 (n 3 x+2n 3 x 2− 4y 3 ) x (1 − x + x 2 − x 3 ) 12m 2 n (1 + 2mn − 3m 2 n 2 + 4m 3 n 3 ) 8x 2 y (2xy−1−3x 2 y−5y 2 ) ab(3a + 6 − 5a 2 b + 8ax) (1 − c)

Ejemplos donde el factor común es un polinomio. a(x+1) + b(x+1) = (x+1) (a+b) x(a+1) − 3(a+1) =(a+1)(x−3) 2(x−1) + y(x−1) =(x−1)(2+y) m(a−b) + (a−b)n = (a−b) (m+n) 2x(n−1) − 3y(n−1) = (n−1) (2x−3y) a(n+2) + n+2 =(n+2)(a+1) a(n+2) + 1(n+2) = a 2 +1 − b(a 2 +1) =(a 2 +1)(1−b) 1(a 2 +1) − b(a 2 +1) =

Ejemplos donde el factor común es un polinomio. 1−x + 2a(1−x) = 1(1−x) + 2a(1−x) = (1−x)(1+2a) −m−n+x(m+n) =−1(m+n)+x(m+n) =(m+n)(x−1) a 3 (a−b+1)−b 2 (a−b+1) =(a−b+1) 4m(a 2 +x−1)+3n(x−1+a 2 ) =(a 2 +x−1) (a 3 −b 2 ) (4m+3n) x(2a+b+c)−2a−b−c =(2a+b+c)(x−1) (x+y)(n+1)−3(n+1) =(n+1)(x+y−3) (x+1)(x−2)+3y(x−2) =(x−2)(x+1+3y) (a+3)(a+1)−4(a+1) =(a+1)(a+3−4) = (a+1)(a−1)

FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

Factorización por agrupación. Factorizar a 2 + ab + ax + bx a(a + b) + x(a + b) = (a + b)(a + x) Factorizar am − bm + an − bn m(a − b) + n(a − b) = (a − b)(m + n) Factorizar ax − 2bx − 2ay + 4by x(a − 2b) − 2y(a − 2b) = (a − 2b)(x − 2y)

Factorización por agrupación. Factorizar 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4 3m + 3mx 4 − 2n − 2nx 4 = 3m(1 + x 4 ) − 2n(1 + x 4 ) = = (1 + x 4 )(3m − 2n) Factorizar 4a 3 − 1 − a 2 + 4a 4a + 4a 3 − 1 − a 2 = 4a(1 + a 2 ) − (1 + a 2 ) = = (1 + a 2 )(4a − 1)

Factorización por agrupación. Factorizar x + x 2 − xy 2 − y 2 x 2 + x − xy 2 − y 2 = x(x + 1) − y 2 (x + 1) = = (x + 1)(x − y 2 ) Factorizar a 2 x 2 − 3bx 2 + a 2 y 2 − 3by 2 a 2 x 2 + a 2 y 2 − 3bx 2 − 3by 2 = a 2 (x 2 + y 2 ) − 3b(x 2 + y 2 ) = = (x 2 + y 2 )(a 2 − 3b)

Factorización por agrupación. Factorizar 2a 2 x − 5a 2 y + 15by − 6bx 2a 2 x − 6bx − 5a 2 y + 15by = 2x(a 2 − 3b) − 5y(a 2 − 3b) = = (a 2 − 3b)(2x − 5y) Factorizar 6m − 9n + 21nx − 14mx 6m − 9n − 14mx + 21nx = 3(2m − 3n) − 7x(2m − 3n) = = (2m − 3n)(3 − 7x)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUADRADOS.

Diferencia de cuadrados. Factorizar. x 2 − y 2 = (x + y)(x − y) 36x 4 − 49x 10 = (6x 2 + 7x 5 )(6x 2 − 7x 5 ) 16a 2 − 25b 6 = (4a + 5b 3 )(4a − 5b 3 ) 1 − 4m 2 = (1 + 2m)(1 − 2m) a 2 b 8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c) 4a 2 − 9 = (2a + 3)(2a − 3) 100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) 25x 2 y 4 − 121 = (5xy )(5xy 2 − 11)

Diferencia de cuadrados. 25 − 36x 4 = (5 + 6x 2 )(5 − 6x 2 ) 100m 2 n 4 − 169y 6 = (10mn y 3 )(10mn 2 − 13y 3 ) 196x 2 y 4 − 225z 12 = (14xy z 6 )(14xy 2 − 15z 6 ) 256a 12 − 289b 4 m 10 = (16a b 2 m 5 )(16a 6 − 17b 2 m 5 ) 1 − 9a 2 b 4 c 6 d 8 = (1 + 3ab 2 c 3 d 4 )(1 − 3ab 2 c 3 d 4 ) 1 16 − 4x 2 49 = ( x 7 ) ( 1 4 − 7 ) a2a2 36 − x6x6 25 = ( a 6 + x3x3 5 ) ( a 6 − x3x3 5 )

Diferencia de cuadrados. Caso especial. (a + b) 2 − c 2 = [(a + b) + c][(a + b) − c] = = (a + b + c)(a + b − c) a 6 − (a + 1) 2 = [a 3 + (a + 1)][a 3 − (a + 1)] = = (a 3 + a + 1)(a 3 − a − 1) (x + y) 2 − a 2 = [(x + y) + a][(x + y) − a] = = (x + y + a)(x + y − a) 4 − (a + 1) 2 = [2 + (a + 1)][2 − (a + 1)] = = (2 + a + 1)(2 − a − 1)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA DIFERENCIA DE CUBOS.

Diferencia de cubos. Factorizar. x 3 − y 3 = (x − y)(x 2 + xy + y 2 ) a 3 − 8 = (a − 2)(a 2 + 2a + 4) 27a 3 − b 6 = (3a − b 2 )(9a 2 + 3ab 2 + b 4 ) 64a 3 − 729 = (4a − 9)(16a a + 81) x 3 y 6 − 216y 9 = (xy 2 − 6y 3 )(x 2 y 4 + 6xy y 6 ) a 3 b 3 x 3 − 1 = (abx − 1)(a 2 b 2 x 2 + abx + 1) 8a 3 − 27b 6 = (2a − 3b 2 )(4a 2 + 6ab 2 + 9b 4 )

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA SUMA DE CUBOS.

Suma de cubos. Factorizar. x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 − xy + y 2 ) a = (a + 2)(a 2 − 2a + 4) 27a 3 + b 6 = (3a + b 2 )(9a 2 − 3ab 2 + b 4 ) 64a = (4a + 9)(16a 2 − 36a + 81) x 3 y y 9 = (xy 2 + 6y 3 )(x 2 y 4 − 6xy y 6 ) a 3 b 3 x = (abx + 1)(a 2 b 2 x 2 − abx + 1) 8a b 6 = (2a + 3b 2 )(4a 2 − 6ab 2 + 9b 4 )

Trinomio Cuadrado Perfecto Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Un trinomio ordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer términos son cuadrados perfectos o tienen raíz cuadrada exacta positiva y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Por ejemplo: el trinomio a 2 − 10a + 25 sus raíces son a y 5, su doble producto es 2(a)(5) = 10a que es el segundo término, luego es trinomio cuadrado perfecto.

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

Trinomio Cuadrado Perfecto Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. Por ejemplo: el trinomio 49m 6 − 70am 3 n a 2 n 4 sus raíces son 7m 3 y 5an 2, su doble producto es 2(7m 3 )(5a 2 n 4 ) = 70am 3 n 2 que es el segundo término, luego es trinomio cuadrado perfecto. Por ejemplo: el trinomio 9b 2 − 35a 2 b + 25a 4 sus raíces son 3b y 5a 2, su doble producto es 2(3b)(5a 2 ) = 30a 2 b que no es el segundo término, luego no es trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio Cuadrado Perfecto Factorización de un trinomio cuadrado perfecto. x 2 ± 2xy + y 2 = (x ± y) 2 Estando ordenado se toma la raíz del primero el signo del segundo y la raíz del tercero. Factorizar 9b 2 − 30a 2 b + 25a 4 = (3b − 5a 2 ) 2 49a 2 − 14a + 1 = (7a − 1) m 2 + m 4 =(6 + m 2 ) 2 y y 2 =y 4 + 2y =(y 2 + 1) 2

Trinomio Cuadrado Perfecto Factorizar 9 − 6x + x 2 = (3 − x) 2 1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a 3 ) 2 4x 2 − 12xy + 9y 2 = (2x − 3y) x 2 y + 49x 4 y 2 = (1 + 7x 2 y) a 10 − 2a 5 =1 − 2a 5 + a 10 = (1 − a 5 ) 2 a 2 /4 − ab + b 2 = (a/2 − b) 2

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA X 2 +BX+C.

Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x 2 +bx+c. Se ordena en forma descendente se saca raíz al primer término y se coloca la misma como el primer término en un par de paréntesis, luego se buscan dos números que sumados o restados den el coeficiente del segundo término, pero que multiplicados los mismos números den el coeficiente del tercer término con todo y signo. Esos números son respectivamente los segundos términos del par de paréntesis.

Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x 2 +bx+c. Factorizar x 2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5) Se observa que: = 7 y 2 x 5 = 10 Factorizar x 2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) Se observa que: = 5 y 2 x 3 = 6 Factorizar x 2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) Se observa que: −3 −4 = −7 y (−3)x(−4) = 12

Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x 2 +bx+c. Factorizar x 2 + 2x − 15 = (x − 3)(x + 5) Se observa que: −3 + 5 = 2 y (−3)x(5) = −15 Factorizar x 2 − 5x − 14 = (x − 7)(x + 2) Se observa que: −7 + 2 = −5 y (−7)x(2) = −14 Factorizar a 2 − 13a + 40 = (a − 5)(a − 8) Se observa que: −5 −8 = −13 y (−5)x(−8) = 40

Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x 2 +bx+c. Factorizar m 2 − 11m − 12 = (m − 12)(m + 1) Se observa que: − = −11 y (−12)x(1) = −12 Factorizar n n − 29 = (n − 1)(n + 29) Se observa que: − = 28 y (−1)x(29) = −29 Factorizar x 2 + 6x − 216 = (x − 12)(x + 18) Se observa que: − = 6 y (−12)x(18) = −216

Trinomio de la forma x 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma x 2 +bx+c en casos especiales. Factorizar x 4 − 5x 2 − 50 = (x 2 − 10)(x 2 + 5) Se observa que: − = −5 y (−10)x(5) = − 50 Factorizar x 6 + 7x 3 − 44 = (x 3 − 4)(x ) Se observa que: − = 7 y (−4)x(11) = − 44 Factorizar a 2 b 2 − ab − 42 = (ab − 7)(ab + 6) Se observa que: −7 + 6 = − 1 y (−7)x(6) = − 42

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA TRINOMIO DE LA FORMA AX 2 +BX+C.

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Regla para factorizar un trinomio de la forma ax 2 +bx+c. Método de las tijeras. Ordenado el polinomio se descompone el primer y tercer términos, en cuatro términos que se colocan en las esquinas de un rectángulo, los primeros del lado izquierdo y los segundos del lado derecho. Luego se obtienen dos términos de multiplicar las diagonales y con ellos se efectúa la suma algebraica, si se obtiene el segundo término del trinomio, la factorización se hace sumando los dos términos superiores del rectángulo por la suma de los dos inferiores.

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 6x 2 − 7x − 3 = 2x 3x − 3 1 − 9x 2x − 7x Segundo término (2x − 3)(3x + 1)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 20x 2 + 7x − 6 = 4x 5x 3 − 2 15x − 8x 7x Segundo término (4x + 3)(5x − 2)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 18a 2 − 13a − 5 = a 18a − 1 5 − 18a 5a − 13a Segundo término (a − 1)(18a + 5)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 15x 4 − 11x 2 − 12 = 3x 2 5x 2 − 4 3 − 20x 2 9x 2 − 11 x 2 Segundo término (3x 2 − 4)(5x 2 + 3)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 12x 2 y 2 + xy − 20 = 3xy 4xy 4 − 5 16xy − 15xy xy Segundo término (3xy + 4)(4xy − 5)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 6x 2 − 11ax − 10a 2 = 2x 3x − 5a 2a − 15ax 4ax − 11ax Segundo término (2x − 5a)(3x + 2a)

Trinomio de la forma ax 2 +bx+c Factorizar 20 − 3x − 9x 2 = 3x − 3x 5 4 − 15x 12x − 3x Segundo término (5 + 3x)(4 − 3x)

FACTORIZACIÓN POR FÓRMULA COMBINADAS.

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados Factorizar a 2 − 6ay + 9y 2 − 4x 2 = Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. a 2 − 6ay +9y 2 − 4x 2 = (a − 3y) 2 − 4x 2 Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados. (a − 3y) 2 − 4x 2 = [(a − 3y) + 2x][(a − 3y) − 2x] = Finalmente a 2 − 6ay +9y 2 − 4x 2 = (a − 3y + 2x)(a − 3y − 2x)

El trinomio cuadrado perfecto y la diferencia de cuadrados Factorizar a 2 + 2ab + b 2 − 1 = Primero se factoriza el trinomio cuadrado perfecto. a 2 + 2ab + b 2 − 1 = (a + b) 2 − 1 Segundo se factoriza la diferencia de cuadrados. (a + b) 2 − 1 = [(a + b) + 1][(a + b) − 1] = Finalmente a 2 + 2ab + b 2 − 1 = (a + b + 1)(a + b − 1)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta Factorizar x 4 + x 2 y 2 + y 4 = No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y restamos x 2 y 2. x 4 + x 2 y 2 + y 4 = x 4 + x 2 y 2 + y 4 + x 2 y 2 − x 2 y 2 = Finalmente se resuelve como los anteriores: x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 − x 2 y 2 = (x 2 + y 2 ) 2 − x 2 y 2 = x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 − x 2 y 2 = [(x 2 + y 2 ) + xy ][(x 2 + y 2 ) − xy ] = x 4 + x 2 y 2 + y 4 = (x 2 + y 2 + xy)(x 2 + y 2 − xy)

El trinomio cuadrado perfecto por suma o resta Factorizar 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 = No es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y restamos 4a 2 b 2. Se obtiene de 2(2)(3) − 8 = 4. 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 = 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 + 4a 2 b 2 − 4a 2 b 2 = Finalmente se resuelve como los anteriores: 4a a 2 b 2 + 9b 4 − 4a 2 b 2 = (2a 2 + 3b 2 ) 2 − 4a 2 b 2 = 4a a 2 b 2 + 9b 4 − 4a 2 b 2 = [(2a 2 + 3b 2 ) + 2ab][(2a 2 + 3b 2 ) − 2ab] = 4a 4 + 8a 2 b 2 + 9b 4 = (2a 2 + 3b 2 + 2ab)(2a 2 + 3b 2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados. Factorizar a 4 + b 4 = En general una suma de cuadrados no tiene factorización, pero hay algunas que al sumarles y restarles se les puede hacer factorización como en el caso anterior: Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta 4a 2 b 2 a 4 + 4a 2 b 2 + b 4 − 4a 2 b 2 = (a 2 + 2b 2 ) 2 − 4a 2 b 2 = Finalmente a 4 + b 4 = (a 2 + 2b 2 + 2ab)(a 2 + 2b 2 − 2ab)

Factorizar una suma de dos cuadrados. Factorizar 4m n 4 = Para formar un trinomio cuadrado perfecto le falta 2(2m 2 )(9n 2 ) = 36m 2 n 2 4m m 2 n n 4 − 36m 2 n 2 = (2m 2 + 9n 2 ) 2 − 36m 2 n 2 = Finalmente 4m n 4 = (2m 2 + 9n 2 + 6mn)(2m 2 + 9n 2 − 6mn)