BIENVENIDO A NUESTRA CLASE DE MATEMATICA CIRCUNFERENCIA TEORÍA PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS PROF: JAIME QUISPE CASAS I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2010

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA Flecha o sagita Q  P Recta secante Cuerda PQ Radio Arco BQ A B  Diámetro AB ( ) Centro T  Punto de tangencia Recta tangente

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. R L

02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q M N R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. B C D

Las cuerdas equidistan del centro 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentes Arcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. R r d = Cero ; d : distancia

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. Distancia entre los centros (d) d > R + r

03. - CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R r Distancia entre los centros (d) d = R + r

d = R - r R r R d 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. Punto de tangencia R r R d d = R - r d: Distancia entre los centros

R r ( R – r ) < d < ( R + r ) 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. R r Distancia entre los centros (d) ( R – r ) < d < ( R + r )

06. - CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. R r Distancia entre los centros (d) d2 = R2 + r2

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. A B R  P AP = PB

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes B R r C D AB = CD

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. B R C D r AB = CD

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) b a r R c TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a b c Inradio r Circunradio R a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

a + c = b + d b c a d TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. d a b c Cuadrilátero circunscrito a + c = b + d