Qucik and Free Translation of Anderson's slides Variables Instrumentales & MC2E(mc dos etapas) y = b0 + b1x1 + b2x2 + . . . bkxk + u x1 = p0 + p1z + p2x2 + . . . pkxk + v Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Por Que Usar Variables Instrumentales? La estimación por Variables Instrumentales (VI) se usa cuando el modelo tiene regresores endogenos Es decir, cuando Cov(x,u) ≠ 0 Entonces, VI se pueden usar para resolver el problema del sesgo de variables omitidas Tambien, VI se pueden usar para resolver el problema clasico de errores en variables Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Que es una Variable Instrumental? Para que una variable, z, sirva como un instrumento valido de x, lo siguiente debe ser cierto El instrumento debe ser exogeno Esto es, Cov(z,u) = 0 El instrumento debe estar correlacionado con la variable endogena x Esto es, Cov(z,x) ≠ 0 Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Más sobre Instrumentos Validos Tenemos que usar el sentido comun y la teoria economica para decidir si tiene sentido asumir Cov(z,u) = 0 Podemos contrastar si Cov(z,x) ≠ 0 Contrastando H0: p1 = 0 en x = p0 + p1z + v Algunas veces a esta regresion se la denomina la regresion en primera etapa Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Estimacion por VI en el caso de la Regresion Simple Sea y = b0 + b1x + u, y dado nuestros supuestos Cov(z,y) = b1Cov(z,x) + Cov(z,u), asi que b1 = Cov(z,y) / Cov(z,x) Entonces el estimador de VI para b1 es Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Inferencia con el estimador de VI El supuesto de homocedasticidad en este caso es E(u2|z) = s2 = Var(u) Como en el caso de MCO, dada la varianza asintotica, podemos estimar el error standard Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Estimacion por VI versus estimacion por MCO El error standard en el caso de VI difiere del de MCO solo en el R2 de regresar x sobre z Ya que R2 < 1, los errores standard de VI seran mas largos que los de MCO Sin embargo, VI es consistente, mientras que MCO es inconsistente cuando Cov(x,u) ≠ 0 Cuanto mayor sea la correlacion entre z y x, menores seran los errores standard de VI Qucik and Free Translation of Anderson's slides

El Efecto de unos Pobres Instrumentos Que pasa si el supuesto de Cov(z,u) = 0 es falso? El estimador de VI sera inconsistente Podemos comparar el sesgo asintotico de MCO y VI Preferiremos VI si Corr(z,u)/Corr(z,x) < Corr(x,u) Qucik and Free Translation of Anderson's slides

VI en el caso de la Regresion Multiple La estimacion por VI se puede extender al caso de regresion multiple Llamemos al modelo que estamos interesados en estimar, modelo estructural Nuestro problema es que ahora una o mas de las variables regresoras pueden ser endogenas Necesitamos un instrumento por cada variable endogena Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Regresion Multiple por VI (cont) Escribe el modelo estructural como y1 = b0 + b1y2 + b2z1 + u1, donde y2 es endogena y z1 es exogena Sea z2 el instrumento, Cov(z2,u1) = 0 y y2 = p0 + p1z1 + p2z2 + v2, donde p2 ≠ 0 Esta ecuacion en forma reducida regresa la variable endogena sobre todas las variables exogenas Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Qucik and Free Translation of Anderson's slides MC Bi-Etapicos (MC2E) Es posible contar con varios instrumentos Consideremos el modelo estructural anterior, y sea y2 = p0 + p1z1 + p2z2 + p3z3 + v2 Aqui estamos asumiendo que las variables z2 y z3 son instrumentos validos – no aparecen en el modelo estructural y estan incorrelacionados con el termino de error, u1 Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Qucik and Free Translation of Anderson's slides El Mejor Instrumento Podriamos usar z2 o z3 como un instrumento El mejor instrumento es la combinacion lineal de todas las variables exogenas, y2* = p0 + p1z1 + p2z2 + p3z3 Se puede estimar y2* por medio de la regresion y2 sobre z1, z2 y z3 – (Primera Etapa) Si substituimos ŷ2 por y2 en el modelo estructural, conseguimos el mismo coeficiente que el de VI Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Qucik and Free Translation of Anderson's slides Mas sobre MC2E Mientras que los coeficientes son los mismo, los errores standard de hacer MC2E a mano son incorrectos, asi que mejor deja a E-Views que lo haga por ti Este metodo se extiende al caso de multiples variables endogenas – aunque tenemos que estar seguros de que tenemos al menos el mismo numero de variables exogenas excluidas (instrumentos) que de endogenas en la ecuacion estructural Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Qucik and Free Translation of Anderson's slides Resolviendo el problema de Errores-en-Variables con la estimacion por VI Recuerda que el problema clasico de errores-en-variables ocurre cuando observamos x1 en lugar de x1* Donde x1 = x1* + e1, y e1 no esta correlacionado ni con x1* ni con x2 Si hay un z, tal que Corr(z,u) = 0 y Corr(z,x1) ≠ 0, entonces VI eliminara el sesgo asintotico de MCO Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Contrastando por Endogeneidad Ya que MCO es preferido a VI cuando no tenemos el problema de endogeneidad, nos gustaria poder contrastar la existencia de endogeneidad Si no tenemos endogeneidad, entonces tanto MCO como VI seran consitentes La idea del contraste de Hausman es ver si las estimaciones por MCO o por VI son diferentes Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Contrastando por Endogeneidad (cont) Aunque es una buena idea ver si los estimadores de VI y los de MCO son diferentes, es mas facil usar una regresion para contrastar por endogeneidad Si y2 es endogena, entonces v2 (de la ecuacion en forma reducida) y u1 del modelo estructural estaran correlacionadas El contraste se basa en esta observacion Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Contrastando por Endogeneidad (cont) Guarda los residuos de la primera estapa Incluye estos residuos en la ecuacion estructural (que por supuesto contiene y2) Si el coeficiente que va con los residuos es estadisticamente diferente de zero, entonces rechazamos la nula de exogeneidad Si hay multiples variables endogenas, entonces se realiza un contraste conjunto sobre los residuos de cada primera etapa Qucik and Free Translation of Anderson's slides

Contrastando restricciones de sobre-identificacion Si nada mas tenemos un instrumento para nuestra variable endogena, entonces no podemos contrastar si el instrumento esta incorrelacionado con el error o no En este caso decimos que el modelo esta identificado Si tenemos multiples instrumentos entonces es posible contrastar las restricciones de sobre-identificacion y ver si alguno de los instrumentos estan correlacionados con el error Qucik and Free Translation of Anderson's slides

El Contraste de Sobre-Identificacion Estimar el modelo estructural usando VI y obtener los residuos Regresar los residuos sobre todas las variables exogenas y obtener el R2 para formar nR2 Bajo la nula de que todos los instrumentos estan incorrelacionados con el termino error, nR2 ~ cq2 donde q es el numero de instrumentos extras Qucik and Free Translation of Anderson's slides