Evolución de poblaciones Ecología. Ecosistemas. Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes Aplicación de la diagonalización a la Biología Aplicación de la diagonalización a la Biología

PROBLEMA Se sabe experimentalmente que las poblaciones de dos especies animales A y B se rigen por las siguientes relaciones: y1’(t) = 0.05 y1(t) - 0.02 y2(t) y2’(t) = -0.02 y1(t) + 0.03 y2(t) y1(t) e y2(t) indican el número de individuos de cada especie en el instante de tiempo t Aplicación de la diagonalización a la Biología

Se conocen los valores iniciales de las poblaciones y1(0) = 200 El problema consiste en hallar el tamaño de cada población al cabo de 30 años Aplicación de la diagonalización a la Biología

solución La especie B se extingue al cabo de 21’5 años En ese momento la especie A tiene 528 individuos. A los 30 años la especie A tiene 896 individuos Aplicación de la diagonalización a la Biología

¿Qué necesitamos para resolver el problema? Saber resolver la ecuación diferencial y’(t) = µ y(t) Saber diagonalizar matrices (Ámbas cosas, para nosotros, son sencillas) Aplicación de la diagonalización a la Biología

y’(t) = µ y(t) y(t) = c · exp(µt) Aplicación de la diagonalización a la Biología

La matriz de coeficientes del sistema es diagonalizable y1’(t) = 0.05 y1(t) - 0.02 y2(t) y2’(t) = -0.02 y1(t) + 0.03 y2(t) La matriz de coeficientes del sistema es diagonalizable gracias a ello podemos hacer un cambio de coordenadas (cambio de base) tal que la matriz del nuevo sistema es diagonal esto permite resolver cada ecuación independientemente Aplicación de la diagonalización a la Biología

Para conocer las funciones originales hay que deshacer el cambio de variables con los valores iniciales calculamos el valor de las constantes de las soluciones obteniendo una única solución Aplicación de la diagonalización a la Biología

Por último hay que analizar las funciones solución. y1(t) es creciente y2(t) no lo es y se anula en 21’5 y1(21’5) = 528 a partir de ese momento y2(t) no interviene Aplicación de la diagonalización a la Biología

y1(21’5) = 528 y1’(t) = 0.05 y1(t) y1(t) = 528·exp(0.05 t) Aplicación de la diagonalización a la Biología

That’s all folks! Aplicación de la diagonalización a la Biología