Realizado por: Grupo_3 Grupo 51. En matemáticas, la secuencia de Fibonacci es una sucesión de números enteros que fue descrita por primera vez en Europa.

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1 Realizado por: Grupo_3 Grupo 51

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3 En matemáticas, la secuencia de Fibonacci es una sucesión de números enteros que fue descrita por primera vez en Europa por Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci. Aunque él se llamaba a sí mismo Fibonacci, como diminutivo de "hijo de Bonacci" (filius Bonacci), en honor al apodo de su padre.

4  Estos números están relacionados entre sí de manera que entrañan lo que se conoce como la “Golden Ratio”. Si se divide el numero posterior entre el anterior se obtendrá aproximadamente 1,618. O si se divide el numero anterior entre el posterior se obtendrá aproximadamente 0,618.  Esta “Golden Ratio” es como una especie de simetría que se repite una vez tras otra en diferentes áreas de nuestra vida, según los estudios de Fibonacci la podemos encontrar en la naturaleza, en las matemáticas…

5  En la naturaleza, hay muchos elementos relacionados con la sucesión de Fibonacci: Según el propio Leonardo de Pisa en su Libro de los ábacos, la secuencia puede ayudar a calcular casi perfectamente el número de pares de conejos n meses después de que una primera pareja comienza a reproducirse (suponiendo que los conejos se empiezan a reproducir cuando tienen dos meses de edad).  La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol (no sólo del nautilus).

6  La relación entre los lados de un pentáculo.  La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig).  Las relaciones entre muchas partes corporales de los humanos y los animales: -La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. -La relación entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo.

7  La relación entre las divisiones vertebrales.

8 Tenemos la formula de recurrencia de los números de fibonacci La cual es F n =F n-1 +F n-2 Con ella podemos sacar la formula explicita ya que por lo visto en clases esta fórmula de recurrencia se puede clasificar como una sucesión lineal, homogénea, de orden 2, con coeficientes constantes. Entonces al ser homogénea podemos igualar la formula a 0 De esta manera F n -F n-1 -F n-2­­ =0 Al tener la formula así determinamos la ecuación característica, sabiendo que al ser de orden 2 se formara una ecuación cuadrática, por lo que quedaría así Tenemos: F­ n =X 2, F n-1 =X y F n-2 =1, talque la E.C seria X 2 –X-1=0 Ya al tener la E.C averiguamos las soluciones de la ecuación, esto por medio de la formula general En la cual necesitamos el valor del discriminante el cual lo conseguimos así ∆=b 2 -4.a.c Teniendo en la ecuación los valores a=1, b=-1 y c=-1. Resolvemos la fórmula del discriminante con los valores de la ecuación ∆=-1 2 -4*-1*-1 ∆=1+4 ∆=5 Después con la formula general para una ecuación cuadrática sacamos la incógnitas (soluciones), que dichas las averiguamos así: X =

9  Seguidamente sustituyendo con los valores de la ecuación, nos quedaría igual a = X= esto es igual a: X=  Sacando las 2 soluciones tales que: X 1 = y X 2 =  Ahora tenemos las soluciones, al tener las dos soluciones x 1 ≠x 2 por medio del Caso 2 para averiguar la formula explicita de una sucesión de orden 2,la formula explicita seria :  F n =A*(s 1 ) n +B*(s 2 ) n, sustituimos valores tomando a S 1 =X 1, S 2 =X 2,talque   La formula es F n =A*( ) n +B*( ) n  En este caso tomamos en cuenta como valores iniciales a F (1) =1 y F (2) =2.  Ahora sustituimos la ecuación de la formula explicita por los valores iniciales, tales que:  F 1 =A*( ) 1 +B*( ) 1 = 1 Resolvemos: F 1 = * A + * B = 1  F 2 =A*( ) 2 +B*( ) 2 = 1 Resolvemos: F 2 = *A + * B=1  Planteamos un sistema de ecuaciones para averiguar las incógnitas A y B. Sistema de ecuaciones con 2 incógnitas:  * A + * B = 1

10 Para averiguar las 2 incógnitas utilizamos el método de:  Regla de Cramer La Regla de Cramer es un método de algebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones. Su base teórica no es tan sencilla como los métodos vistos hasta ahora y emplea el cálculo de determinantes de matrices matemáticas, y da lugar a una forma operativa sencilla y fácil de recordar, especialmente en el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas.matrices matemáticas Aquí sólo veremos su forma de uso para resolver dos ecuaciones con dos incógnitas, sin entrar a discutir el origen de este método. Primero veremos un caso general y luego resolveremos un ejemplo. Partiendo de un sistema general de dos ecuaciones con dos incógnitas:  La matriz de los coeficientes de las incógnitas son una tabla de 2*2 en la que se encuentran los coeficientes de las incógnitas, ordenados por filas y columnas. En la primera fila los de la primera ecuación y en la segunda, los de la segunda ecuación. En la primera columna los de la primera incógnita y en la segunda, los de la segunda incógnita.  El coeficiente de una incógnita en una ecuación ocupa una fila y columna determinadas; el cambio en el orden dentro de la matriz supone la modificación del sistema de ecuaciones, las matrices se representan entre paréntesis, como en el ejemplo: El determinante de una matriz es una operación sobre esa matriz que da como resultado un escalar E, que depende de los términos de la matriz y el lugar donde estén situados: En el caso de una matriz de 2*2, tenemos que el valor del determinante es el producto de los términos de la diagonal principal menos el producto de los de la diagonal secundaria:

11  Esta regla tan sencilla no se cumple en matrices de mayor dimensión y para su calculo hay que tener ciertos conocimientos de álgebra lineal.  Partiendo de todo esto tenemos que la Regla de Cramer dice que, en un sistema de ecuaciones lineales, el valor de cada incógnita es la relación que existe entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas, donde se ha sustituido la columna de la incógnita a resolver por la columna de términos independientes, entre el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas  Así si partimos del sistema: Tendremos que las incógnitas valdrán: Desarrollando los determinantes tendremos las operaciones a realizar para calcular la x: y para el cálculo de la y: (p.1) Bien tenemos F 1 = * A + * B = 1, ente caso tomamos a A=a=,B=b= y C=c=1 y de : F 2 = *A + * B=1, tomamos A=,B= y C=1.  Pero para F 2 seria A=d, B=e y C=f esto con la finalidad de ilustrarnos de acuerdo a dicha regla, talque  Al averiguar X=A tendríamos que sustituir las formulas de la regla: X= sustituimos valores = X= = X= =... A =

12  Al averiguar Y=B tendríamos que sustituir las formulas de la regla: Y= sustituimos valores con lo hecho en (p.1) = = Y = = Y = =... B =  Para finalizar, ya tenemos A =, B =, S 1 = y S 2 =  Solo planteamos la formula explicita con dichos valores, talque... La formula explicita es: F n = *( ) n + *( ) n