Problemas de Valores en la Frontera en Otros Sistemas Coordenados CAPÍTULO 14

Contenido 14.1 Coordenadas Polares 14.2 Coordenadas Polares y Cilíndricas 14.2 Coordenadas Esféricas

14.1 Problemas en Coordenadas Polares Laplaciano Coordenadas Polares Ya sabemos que

Por tanto (1) (2)

Al sumar (1) y (2) tenemos

Ejemplo 1 Resuelva la ecuación de Laplace (3) sujeta a u(c,) = f(), 0 <  < 2. Solución Puesto que (r,  + 2) equivale a (r,  ), se debe tener u(r, ) = u(r,  + 2). Si se busca una función poducto u = R(r)(), entonces (r,  + 2) = (r,  ).

Ejemplo 1 (2) Introduciendo la constante de separación , se tiene Buscamos una solución de forma (6)

Ejemplo 1 (3) De las tres posibles soluciones generales de (5): (7) (8) (9) se puede descartar la (8) como inherentemente no periódica, a menos que c1 = c2 = 0. De modo similar (7) es no periódica a menos que c2 = 0. A la solución  = c1  0 se le puede asignar cualquier período, por lo tanto  = 0 es un valor propio.

Ejemplo 1 (4) Cuando escogemos  = n, n = 1, 2, …, (9) es 2 periódica. Los valores propios de (6) son 0 = 0 y n = n2, n = 1, 2, …. Si hacemos correspondes 0 = 0 con n = 0, las funciones propias son Donde n = n2, n = 0, 1, 2, … las soluciones de (4) son

Ejemplo 1 (5) Note we should define c4 = 0 to guarantee that the solution is bounded at he center of the plate (r = 0). Finally we have

Ejemplo 1 (6) Aplicando la condición límite en r = c, obtenemos

Ejemplo 2 Determine la temperatura de estado estable u(r, ) en la placa semicircular mostrada en Fig 14.3.

Ejemplo 2 (2) Solución El problema de valor en la frontera es

Ejemplo 2 (3) y (16) (17) Las condiciones en los límites se traducen en (0) = 0 y () = 0.

Ejemplo 2 (4) Junto con (17) tenemos (18) Este problema (Ej. 2 de la Sec. 3.9) posee valores propios n = n2 y funciones propias () = c2 sin n, n = 1, 2, … De modo similar, R(r) = c3rn y un = R(r)() = An rn sin n

Ejemplo 2 (5) Por tanto tenemos

14.2 Problemas en Coordenadas Polares y Cilíndricas: Funciones de Bessel Simetría Radial Las ecuaciones de calor y onda bidimensionales expresadas en coordenadas polares son, a su vez: (1) donde u = u(r, , t). La solución producto se define como u = R(r)()T(t). Cosideramos problemas más simples, que poseen simetría radial, esto es, u es independiente de .

En este caso, (1) toman las formas, a su vez, (2) donde u = u(r, t).

Ejemplo 1 Determine el desplazamiento u(r, t) de una sembrana circular de radio c sujeta a lo largo de su circunferencia si su desplazamiento inicial es f(r) y su velocidad inicial es g(r). Fig 14.7.

Ejemplo 1 (2) Solución El problema de valor en la frontera es

Ejemplo 1 (3) sustituyendo u = R(r)T(t) en la EDP, entonces (3) Las dos ecuaciones obtenidas de (3) son (4) (5) Este problema indica que sólo se usa  = 2 > 0,  > 0.

Ejemplo 1 (4) Ahora (4) es la ecuación diferencial paramétrica de Bessel de orden v = 0, esto es, rR” + R’ + 2rR = 0. La solución general es (6) La solución general de (5) de T = c3 cos at + c4 sin at Recuerde que Y0(r)  − cuando r  0+ así que la suposición implícita de que el desplazamiento u(r, t) debe estar acotado en r = 0 obliga a definir c2 = 0 en (6).

Ejemplo 1 (5) Por tanto R = J0(r). Puesto que la condición de frontera u(c, t) = 0 es equivalente a R(c) = 0, se debe tener c1J0(c) = 0. Se desecha c1 = 0, por tanto: J0(c) = 0 (7) Si xn = nc son las raíces positivas de (7), entonces n = xn/c y por tanto los valores propios son n = n2 = xn2/c2 y las funciones propias son c1J0(nr). Las soluciones producto son: (8)

Ejemplo 1 (6) Donde se ha realizado la redonominación usual de constantes. El principio de superposición da (9) Al establecer t = 0 en (9) y usar u(r, 0) = f(r) se obtiene (10) El último resultado se reconoce como desarrollo de Fourier-Bessel de f en el intervalo (0, c).

Ejemplo 1 (7) Ahora tenemos (11) A continuación se diferencia (9) con respecto a t, se fija t = 0, y se emplea ut(r, 0) = g(r):

Ondas Estacionarias Las soluciones (8) se llaman ondas estacionarias. Para n = 1, 2, 3, …, son básicamente la gráfica de J0(nr) con la amplitud que varía con el tiempo An cos nt + Bn sin nt Los ceros de cada onda estacionaria en el intervalo (0, c) son las raíces de J0(nr) = 0 y corresponden al conjunto de puntos en una onda estacionaria donde no hay movimiento. Este conjunto se llama línea nodal.

Como en Ejemplo 1, los ceros de las ondas estacionarias se determinan a partir de J0(nr) = J0(xnr/c) = 0 Ahora de la Tabla 5.2 y para n = 1, la primera raíz positiva es J0(x1r/c) = 0 es 2.4r/c = 2.4 ó r = c Puesto que el intervalo deseado es (0, c), el último resultado significa que la primera onda estacionaria no tiene línea nodal. Para n = 2, las raíces de J0(x2r/c) = 0 son 5.5r/c = 2.4 y 5.5r/c = 5.5 Tenemos r = 2.4c/5.5 que tiene una línea nodal. Fig 14.8.

Fig 14.8

Laplaciano en Coordenadas Cilíndricas Observe Fig 14.10. Tenemos x = r cos , y = r sin , z = z y

Fig 14.10

Ejemplo 2 Determine una temperatura de estado estable u en el cilindro circular recto mostrado en la Fig 14.11.

Ejemplo 2 (2) Solución Las condiciones de frontera indican que la temperatura u tiene simetría circular. Por tanto

Ejemplo 2 (3) Si se emplea u = R(r)Z(z) y se separan variables, (13) (14) (15) Si se elige  = 2 > 0,  > 0, la solución de (14) es R(r) = c1 J0(r) + c2 Y0(r) Puesto que la solución de (15) está definida en [0, 2], tenemos Z(z) = c3 cosh z + c4 sinh z

Ejemplo 2 (4) Como en Ejemplo 1, la suposición de que u está acotada en r = 0 requiere que c2 = 0. La condición u(2, z) = 0 implica que R(2) = 0. Entonces J0(2) = 0 (16) define los valores propios n = n2. Por último, Z(0) = 0 implica que c3 = 0. Puesto que se tiene R(r) = c1 J0(r), Z(z) = c4 sinh z,

Ejemplo 2 (5)

Ejemplo 2 (6) Para la última integral, se emplea t = nr y d[tJ1(t)]/dt = tJ0(t), entonces

14.3 Problemas en Coordenadas Esféricas: Polinomios de Legendre Laplaciano en Coordenadas Esféricas Observe Fig 14.15. Ya sabemos que (1) y (2) Sólo consideraremos algunos problemas que son independientes del ángulo azimutal .

Fig 14.15

Ejemplo 1 Determine la temperatura de estado estable u(r, ) dentro de la esfera mostrada en Fig 14.16.

Ejemplo 1 (2) Solución El problema se define como

Ejemplo 1 (3) y por tanto (2) (3) Después de sustituir x = cos , 0    , (3) se transforma en (4) Es una forma de la ecuación de Legendre. Ahora las únicas soluciones de (4) que son continuas y tienen derivadas continuas en [-1, 1] son los polinomios de Legendre Pn(x) que corresponden a 2 = n(n+1), n = 0, 1, 2, ….

Ejemplo 1 (4) Así se toman las soluciones de (3) como  = Pn(cos ) Donde  = n(n + 1), la solución de (2) es R = c1 rn + c2 r –(n+1) Puesto que de nuevo se espera que u sea redondeada a r = 0, se define c2 = 0. Por consiguiente,

Ejemplo 1 (5) Por lo tanto Ancn son los coeficientes de la serie deFourier-Legendre (23) de Sec 12.5: