BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Con el objetivo de iniciar al alumno en la utilización de la herramienta interactiva, en esta presentación se muestra (de forma animada) cómo se usaría para llevar a cabo la resolución gráfica de un PROBLEMA CON REGIÓN FACTIBLE ACOTADA Y ÓPTIMOS ALTERNATIVOS. Recordamos que la herramienta interactiva parte de un diagrama de árbol, en el que los diferentes nodos plantean al alumno una tarea que debe realizar y, a continuación, una pregunta a la que debe contestar en función de los resultados de la tarea realizada. La elección de cada una de las posibles respuestas resalta las ramas del diagrama de árbol correspondiente a la respuesta elegida y encamina al alumno hacia una nueva tarea y posterior pregunta. De esta manera, al completar todos los pasos planteados, el alumno llega finalmente a la solución del problema que quiere resolver. AVISO: Para su correcta visualización es necesario tener instalada la opción Microsoft Editor de ecuaciones de Microsoft Office. Las presentaciones avanzan con sucesivos clicks de ratón y/o pulsando los eventuales botones (no deben usarse los cursores ni la rueda del ratón).

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Representación de la región factible Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Recta r1: -x1+x2=2 Corte con el eje x1 x2=0 x1=-2 Corte con el eje x2 x1=0 x2=2 r1 Región -x1+x2 ≤ 2 El punto (0,0) pertenece ya que 0 + 0 = 0 ≤ 2 (0,2) (-2,0)

Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Representación de la región factible Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Recta r2: x1+2x2=6 Corte con el eje x1 x2=0 x1=6 Corte con el eje x2 x1=0 x2=3 r1 r2 Región x1+2x2 ≤ 6 El punto (0,0) pertenece ya que 0+20 = 0 ≤ 6 (0,3) (0,2) (-2,0) (6,0)

Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Representación de la región factible Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Recta r3: 2x1+x2=6 Corte con el eje x1 x2=0 x1=3 Corte con el eje x2 x1=0 x2=6 (0,6) r1 r3 r2 Región 2x1+x2 ≤ 6 El punto (0,0) pertenece ya que 20 + 0 = 0 ≤ 6 (0,3) (0,2) (-2,0) (3,0) (6,0)

Representación de la región factible BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Representación de la región factible Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 (0,6) r1 r3 r2 (0,3) (0,2) Región factible (-2,0) (3,0) (6,0)

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Representación de puntos extremos candidatos a solución óptima Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Puntos extremos de la región factible (0,0) (0,2) Intersección de r1 y r2 r1: -x1+x2=2 (0,6) r1 r3 (2/3, 8/3) r2: x1+2x2=6 r2 Intersección de r2 y r3 r2: x1+2x2=6 (0,3) (2/3,8/3) (2, 2) (2,2) r3: 2x1+x2=6 (0,2) Región factible (3,0) (0,0) (-2,0) (3,0) (6,0)

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

Evaluación de la función objetivo en los puntos extremos BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Evaluación de la función objetivo en los puntos extremos Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Puntos extremos de la región factible (0,0) Z=0 (0,2) Z=2 Intersección de r1 y r2 r1: -x1+x2=2 (0,6) r1 r3 (2/3, 8/3) Z=4 r2: x1+2x2=6 r2 Intersección de r2 y r3 r2: x1+2x2=6 (0,3) (2/3,8/3) (2, 2) Z=6 (2,2) r3: 2x1+x2=6 (0,2) Región factible (3,0) Z=6 (0,0) (-2,0) (3,0) (6,0)

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO x1 =2, x2=2 Z=6 Problema infactible x1 =3, x2=0 Z=6

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO x1 =2, x2=2 Z=6 Problema infactible x1 =3, x2=0 Z=6

Perpendiculares a la dirección de máxima optimización BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL Análisis de cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representación de una curva de nivel Notemos que el vector (2,1) es el gradiente de la función objetivo, que da la dirección de crecimiento más rápido. Al ser un problema de maximización, la dirección de máxima optimización coincide con este gradiente. (0,6) r1 r3 Dirección de máxima optimización: r2 Vector (2,1) Curvas de nivel: aquellas generadas fijando el valor de la función objetivo (0,3) (2/3,8/3) (2,2) (0,2) Perpendiculares a la dirección de máxima optimización Región factible (0,0) (-2,0) (3,0) (6,0) 2x1+x2 = z

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO Problema infactible

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO x1 =2, x2=2 Z=6 Problema infactible x1 =3, x2=0 Z=6

BY: M. J. García-Ligero Ramírez and P BY: M.J. García-Ligero Ramírez and P. Román Román Departamento de Estadística e I.O. Universidad de Granada Una herramienta interactiva como guía en la resolución gráfica de un PPL SI Solución no acotada Máx Z=2x1+x2 s. a. -x1+x2 ≤ 2 x1+2x2 ≤ 6 2x1+ x2 ≤ 6 x1, x2 ≥ 0 Representa una curva de nivel asociada con la función objetivo y determina la dirección de máxima optimización ¿La función objetivo se optimiza sin límite? NO NO Solución acotada Determina los puntos extremos candidatos a solución óptima ¿Está acotada? NO SI REPRESENTA LA REGIÓN FACTIBLE ¿Es vacía? Solución única SI Evalúa la función objetivo en los puntos extremos Solución acotada ¿Existe un único punto con valor óptimo? Determina todos los puntos extremos Dos opciones SI Analiza cómo cambia el valor de la función objetivo al desplazar sus curvas de nivel por la región factible en la dirección de máxima optimización Óptimos alternativos NO x1 =2, x2=2 Z=6 Problema infactible x1 =3, x2=0 Z=6