Métodos Matemáticos I: Variable compleja y Transformadas Integrales http://www.dmae.upm.es Eusebio Valero (Grupos C y tarde) Bartolo Luque (Grupos A y B) Variable Compleja, Mariola Gómez y Marta Cordero, García Maroto Editores (2007) Variable Compleja y Aplicaciones, R. V. Churchill y J. W. Brown, McGraw-Hill (1996) Programa y texto básico que fijan el contenido y el nivel de conocimientos a efectos de enseñanza y exámenes.

Métodos Matemáticos I: Variable compleja y Transformadas Integrales Todas las transparencias del curso están accesibles en ppt en: http://matap.dmae.upm.es/bartolo.html Sección: Docencia-Métodos Matemáticos I El examen y el criterio de evaluación serán comunes (tipo test). Junio: 26-06-2009 (viernes a las 16:00) Septiembre: 18-09-2009 (viernes a las 10:00)

Presentación The complexity of the complex variable course is more imaginary than real. -- An encouraging observation

1. Números complejos Definición de número complejo. Operaciones básicas con números complejos. Complejo conjugado. Propiedades algebraicas. Origen y evolución de los números complejos en la historia de la matemática. Interpretación geométrica en el plano complejo. Módulo y argumento. Valor principal de la función multivaluada argumento. Operaciones básicas en el plano complejo. Relación entre los números complejos y la estructura de espacio vectorial real bidimensional. Desigualdad triangular. Forma polar y trigonométrica. Propiedades del argumento principal. Multiplicación en forma trigonométrica y su interpretación geométrica. Representación matricial de los números complejos. División en forma polar e interpretación geométrica. Fórmula de Moivre. Raíces de un número complejo. Teorema de Frobenius. Cuaterniones e hipercomplejos.

2. Funciones Conjuntos de puntos y definiciones topológicas básicas en el plano complejo. Conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot. Definición de función compleja Representación gráfica. Transformaciones mediante funciones lineales. Transformación 1/z. Transformación bilineal. Transformación de Zhukovsky. Límite de una función, Propiedades de los límites. Punto del infinito y esfera de Riemann. Continuidad de funciones. Punto de ramificación y corte de rama.

3. Funciones complejas Definición de derivada de una función compleja. Propiedades de la derivada compleja. Concepto de diferencial. Ecuaciones de Cauchy-Riemann. Forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Condiciones de suficiencia y necesidad de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para la derivabilidad. Definición de función analítica. Puntos singulares y polos de orden n. Funciones armónicas.

4. Funciones básicas Función exponencial. Propiedades básicas. La transformación exponencial. Forma exponencial de los números complejos. Fasores y circuitos eléctricos. Funciones trigonométricas. Las funciones hiperbólicas. Propiedades y transformaciones. Función logarítmica y su valor principal. La transformación logarítmica y su analiticidad. Las funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas Funciones potenciales.

5. Integración Integrales de línea compleja. Arco suave a trozos. Contornos cerrados simples. Teorema integral de Cauchy. Teorema integral de Cauchy-Goursat. Principio de deformación de contornos. Independencia del camino de integración. Fórmula integral de Cauchy. Fórmula integral de Cauchy generalizada. Analiticidad de las derivadas de cualquier orden de una función analítica. Teorema de Morera. Desigualdad de Cauchy. Teorema de Liouville.

6. Series Límite de una sucesión. Convergencia y divergencia. Series. Teorema de Cauchy para series. Convergencia absoluta y condicional. Comparación de series. Criterio del cociente y de la raíz. Definición de series de potencias. y fórmula de Cauchy-Hadamard. Teorema de Taylor. Multiplicación, derivación e integración de series. Series de Laurent. Teorema de Laurent.

7. Teoría de residuos Definición de residuo. Cálculo de integrales a través de residuos. Residuos en los polos. Ceros y polos de orden m. Fórmula para hallar residuos de polos de cualquier orden. Demostración del teorema del residuo. Cálculo de integrales reales. Suma de series mediante el teorema del residuo. La transformada z.

¿Cómo hacen el amor los matemáticos? Los de Análisis Real lo hacen continuamente y diferencian bastante. Los de Análisis Complejo lo hacen enteramente y quedan conformes. Los de Topología Conjuntista lo hacen abiertamente pero con tacto. Los de Combinatoria lo hacen discretamente. Los Estadísticos lo hacen aleatoriamente. Los Lógicos lo hacen de modo consistente. Los de Topología Diferencial lo hacen muuuuy suavemente. Los de Geometría Diferencial lo hacen con mucha variedad. Los de Análisis Numérico lo hacen con precisión arbitraria. Los de Teoría de la Medida lo hacen casi por doquier. Los de Teoría de Números no lo hacen y son primos. Los de Teoría de Grupos lo hacen simplemente. Los de Recursión no se deciden. Los Constructivistas lo hacen directamente. Los de Matemática Aplicada usan un ordenador para que lo haga por ellos. Los Algebristas, categóricamente lo hacen. Los de Álgebra Lineal lo hacen sin discriminar. Los de Investigación Operativa maximizan las entradas y minimizan las salidas. Pitágoras lo hizo primero. Fermat lo hizo, pero no pudo probarlo. Gauss lo hizo mejor que nadie.

History References [1] MICHAEL J. CROWE, A History of Vector Analysis, University of Notre Dame Press, 1967. [2] WILLIAM DUNHAM, Journey Through Genius: The GreatTheorems of Mathematics, Wiley, New York, 1990. [3] B. L. VAN DER WAERDEN, A History of Algebra from al-Khwa¯rizmõ¯ to Emmy Noether, Springer-Verlag, New York, 1985.

For the history of complex analysis, specialists: [1] UMBERTO BOTTAZZINI, The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, New York and Berlin, 1986. [2] FRANK SMITHIES, Cauchy and the Creation of Complex Function Theory, Cambridge University Press, 1997.

[2] GEORGE P´OLYA and GORDON LATTA, Applications of complex variables References [1] PHILIP J. DAVIS, The Schwarz Function and Its Applications, The Mathematical Association of America, Washington, DC, 1974. [2] GEORGE P´OLYA and GORDON LATTA, Complex Variables, Wiley, New York, 1974. [11] A. DAVID WUNSCH, Complex Variables with Applications, 2nd Edition, Addison-Wesley, Reading, MA, 1994.

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For a serious treatment of the gamma and zeta functions that is within the reach of wellprepared undergraduates. References [1] JOSEPH BAK and DONALD J. NEWMAN, Complex Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, New York, 1996.