Tema 5: Distribuciones continuas

Recordamos que una variable aleatoria continua es una variable cuyo valor no puede predecirse con exactitud (aunque sí en términos “probabilísticos”, es decir, con determinado grado de incertidumbre) y que toma valores en un intervalo. ¿Qué es la función de densidad, en este caso?

Ejemplo: Estudiamos el peso de los ejemplares de una cierta especie de pájaro; para ello, tomamos una muestra, agrupamos los datos en intervalos, y calculamos los porcentajes Peso %

% ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? Prob.=%=Area 1 Peso

Peso % Prob.=%=Area ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Peso % Prob.=%=Area ¿Probabilidad de que un ejemplar de la MUESTRA, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

Peso % Prob. (muestra) Muestra POBLACION Conocida (DATOS) Desconocida!!! ¿Qué hacemos, entonces? ¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170?

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Función de densidad y = f(x) 170 Esa área es la probabilidad pedida; también puede interpretarse como el porcentaje total de pájaros (no sólo de mi muestra) con un peso superior a 170.

¿Probabilidad de que un ejemplar de la POBLACION, tomado al azar, tenga un peso superior a 170? 170 % Peso Función de densidad y = f(x) 170 Si conocemos la expresión f(x), entonces el área se calcula como

DEFINICION (Función de densidad): Dada una variable aleatoria continua X decimos que f(x) es una función de densidad, si: 1.- f(x)≥0 para todo valor de x 2.- Se cumple:

En estas condiciones, P(a ≤ X ≤ b) (es decir, la probabilidad de que la variable X esté entre los valores a y b), se calcula como: ab f(x)

IMPORTANTE: En consecuencia, la probabilidad de que la variable X tome un valor determinado, es CERO: Por lo tanto,

DEFINICION (Función de distribución): Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad f(x), la función de distribución F(x) es la función que para cada valor de x nos da la probabilidad de que X tome un valor menor o igual que x.

La función de distribución cumple: 1.La derivada de la función de distribución, es la función de densidad. 2. Se verifica:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA MEDIA: Variable discreta: Variable continua:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA VARIANZA: Variable discreta: Variable continua:

MEDIA, VARIANZA, DESVIACION TIPICA DESVIACION TIPICA: Ejemplos/Ejercicios

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES CONTINUAS: A. Distribución normal: N(µ,σ) (Pizarra) B. Distribución exponencial: Exp(λ) Función de densidad:

B. Distribución exponencial: Exp(λ) µ=1/λ σ=1/λ - Se utiliza con frecuencia para modelizar la duración (vida de personas, animales o componentes físicos; duración de huelgas, recesiones eco- nómicas, etc.) o el tamaño (duración de llamadas, tamaño de yaci - mientos, etc.)

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: dondeson variables aleatorias independientes ypara i = 1, 2,…, n. La gráfica de su función de densidad es:

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Media: n Varianza: 2n Es importante en inferencia estadística

C. Distribución chi-cuadrado de Pearson de n grados de libertad: Está tabulada

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Normal Chi-cuadrado de n grados de libertad

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Es SIMETRICA respecto al eje Y Media: 0 Varianza: n/(n-2) (para n>2) Es importante en inferencia estadística

D. Distribución t de Student de n grados de libertad: Está tabulada Es importante en inferencia estadística

E. Distribución F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Chi-cuadrado con n 1 grados de libertad Chi-cuadrado con n 2 grados de libertad

E. Distribución F de Snedecor con n 1, n 2 grados de libertad : Está tabulada

Uso práctico de las tablas de Chi-cuadrado, t de Student y F de Snedecor: PIZARRA