Apuntes 2º Bachillerato C.T. SISTEMAS MATRICIALES TEMA 3.6 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ECUACIONES Y SISTEMAS ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Son ecuaciones o sistemas de ecuaciones en las cuales las incógnitas o coeficientes son matrices. Sea A. X = B la ecuación, donde A y B son matrices Despejando X tenemos -1 X = B / A = A .B Tendremos que calcular la inversa de la matriz A y luego un producto de matrices. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES Todo sistema de ecuaciones lineales se puede expresar mediante matrices. En muchos casos ello nos facilitará además la resolución del sistema y demás cálculos. Ejemplo x – 2y + 3z = 4 5x + 6y – 7z = 8  A.X = C 9x – 10y + 11z = 12 1 – 2 + 3 x 4 A = 5 + 6 – 7 X = y C = 8 9 – 10 11 z 12 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ... Ejemplo Tenemos pues A.X = C De donde X = C / A = A-1. C Si la matriz A es cuadrada y tiene inversa, podremos hallar A-1. La matriz inversa multiplicada por la matriz C nos dará la solución del sistema de ecuaciones. Calculamos la matriz inversa mediante Gauss-Jordan: 1 – 2 3 1 0 0 5 + 6 – 7 0 1 0 9 – 10 11 0 0 1 F2=F2 – 5XF1 y F3=F3 – 9XF1 0 16 – 22 -5 1 0 0 8 -16 -9 0 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ... Ejemplo F3=F3 – 0,5XF2 y F3=F3:16 1 – 2 3 1 0 0 0 1 – 22/16 -5/16 1/16 0 0 0 – 5 -6,5 -0,5 1 F3=F3:(-5) y F1=F1 – 3XF3 1 – 2 0 -2,9 -0,3 0,6 0 0 1 1,3 0,1 -0,2 F2=F2 + (22/16)F3 y F1=F1 + 2XF2 1 0 0 0,05 0,1 0,05 0 1 0 1,475 0,2 -0,275 0 0 1 1,3 0,1 -0,2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. ... Ejemplo 0,05 0,1 0,05 La matriz inversa es A-1 = 1,475 0,2 -0,275 1,3 0,1 -0,2 Las soluciones del sistema serán: 0,05 0,1 0,05 4 X = A-1 .C = 1,475 0,2 -0,275 . 8 1,3 0,1 -0,2 12 0,2 + 0,8 + 0,6 X = 5,9 + 1,6 – 3,3 5,2 + 0,8 – 2,4 x  x = 1,6 X= y  y = 4,2 z  z = 3,6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. PROBLEMAS DE GRAFOS Un grafo es aquella figura que nos permite representar las relaciones existentes entre los elementos de un conjunto. Representamos por 1 cuando hay relación entre dos elementos y por 0 cuando no la hay. La matriz correspondiente se compondrá pues de unos y ceros. Sea la situación siguiente: Andrés ( A) conoce la dirección E_mail de Belén (B) y la de Carlos (C) Belén (B) conoce la dirección E_mail de Carlos ( C) Carlos (C) conoce la dirección E_mail de Andrés (A) y la de Belén (B) Diana (D) sólo conoce la dirección E_mail de Carlos (C) A C D B @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. MATRICES EN ECONOMIA En numerosas situaciones del mundo económico se presentan casos en los que aparece: Una serie de elementos de un colectivo (por ejemplo, un holding empresarial). Unos recursos o beneficios obtenidos por cada elemento (cada empresa del holding, por ejemplo) Una normativa que obliga a que cada elemento transfiera a los demás parte de sus recursos o beneficios. La normativa puede ser representada por una matriz de transferencia M, que se formará poniendo en cada columna los porcentajes que obligan a cada elemento. Recursos Recursos Tendremos así: M. = Iniciales Finales @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO En una familia el padre (P), la madre (M) y el hijo (H) ganan 1.600 €, 1.100 € y 900 € al mes respectivamente. El padre da el 50% a la madre, el 30% al hijo y el resto se lo queda él. La madre se queda la mitad y la otra mitad se lo da al hijo. El hijo por su parte se queda con un 70% de lo que gana y el resto se lo da a la madre. ¿Qué cantidad de dinero corresponderá a cada uno al mes ?. RESOLUCIÓN Sabiendo que M.(RI) = (RF) P M H 0,2 0 0 1600 320 P 0,5 0,5 0,3 1100 = 800+550+270 M 0,3 0,5 0,7 900 480+550+630 H corresponde a cada uno ( P, M e H, en € ) Al padre 320 € , a la madre 1620 € y al hijo 1660 € @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. EJEMPLO PROPUESTO Una empresa fabrica cuatro tipos de artículos: A, B, C y D. Los precios de coste de cada unidad son 6, 9, 14 y 20 € respectivamente. Los precios de venta de cada unidad son 18, 28, 40 y 52 € respectivamente. El número de unidades vendidas anualmente es de 2240, 1625, 842 y 530 respectivamente.. Hallar los beneficios. Resolución: Las matrices de costes, ingresos y ventas son: COSTES INGRESOS VENTAS 6 0 0 0 18 0 0 0 0 9 0 0 0 28 0 0 2240 1625 842 530 0 0 14 0 0 0 40 0 0 0 0 20 0 0 0 52 BENEFICIOS = INGRESOS - COSTES = V.I – V.C @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.