Apuntes 1º Bachillerato CT CÓNICAS TEMA 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT HIPÉRBOLA TEMA 6.8 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LA HIPÉRBOLA LA HIPÉRBOLA La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados FOCOS es una constante. PF – PF’ = 2a Elementos Semieje real: a Semieje imaginario: b Semidistancia focal: c Focos: F(0, c) , F(0, -c) Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0), B(0, b), B’(0, -b) Y P(x, y) B F’ A’ A F X 2c 2a @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT RELACIÓN FUNDAMENTAL RELACIÓN FUNDAMENTAL Por definición, la diferencia de distancias de cualquier punto a los focos F y F’ es 2a. PF – PF’ = 2.a Tomamos el vértice derecho A(a, 0) y vemos que se nos forma un triángulo rectángulo. Por Pitágoras: Excentricidad Se define como la relación: e = c / a Como siempre c > a e > 1 en una hipérbola Y P(x, y) c F’ A’ b A F a X Asíntotas: y = (b/a).x e y = -(b/a).x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN REDUCIDA ECUACIÓN REDUCIDA Se considera el origen O(0, 0) el centro geométrico de la hipérbola. Se aplica la definición, dándose cuenta de que cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una hipotenusa de triángulos rectángulos: PF’ – PF = 2.a √((x+c)2+ y2)) – √((x – c)2+ y2))=2.a √((x+c)2+ y2)) = 2.a + √((x – c)2+ y2)) Y c b P(x, y) F’ A’ A F a x X c Elevando todo al cuadrado: x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 + 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2) xc – a2 = a√(c2 – 2xc + x2+ y2) x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2  Como c2 = a2 + b2 x2a2 + x2b2 + a4 = a4 + a2b2 + x2a2 – y2a2 Quedando: x2b2 – y2a2 = a2b2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: 1º.- Vértices: A(3,0), A’(-3,0), B(0, 4) y B’(0, - 4) El centro de la elipse es C((3+(-3))/2, (4+(-4))/2) ,, C(0,0) Eje real: 2.a = 6 ,, a =3 ,, Eje imaginario: 2b = 8 ,, b = 4 Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2  16x2 – 9y2 = 144 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Excentricidad: e = 1,2 El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0) Semieje mayor: a = 5 ,, e = c / a  c =e.a = 1,2.5 = 6 Semieje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (62 – 52 ) = √11 Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2  11x2 – 25y2 = 275 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(10, 0), F’(-10, 0) y P(- 6, 0) Ecuación: b2 x2 – a2 y2 = a2 b2  36.b2 – 0.a2 = a2.b2 Relación: c2 = a2 + b2  100 = a2 + b2 Resolviendo el sistema: a2 = 36 ,, a = 6 y b2 = 64 ,, b = 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN REDUCIDA Teníamos: x2b2 – y2a2 = a2b2 Dividiendo todo entre a2b2 Queda: x2 y2 --- – --- = 1 a2 b2 ECUACIÓN GENERAL Lo normal es que el centro de la hipérbola no sea el origen de coordenadas: Resultando: (x – k)2 (y – h)2 --------- – ---------- = 1 a2 b2 ECUACIÓN DESARROLLADA Operando en la ecuación general: x2b2 – y2a2 – 2kb2x + 2ha2y + (b2k2 – a2h2 – a2b2) = 0 Que es la ecuación general desarrollada. Y P(x, y) F’ A’ A F X O @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos datos conocidos son: 4º.- Vértices: A(5,3), A’(-7,3), e = 1,5 El centro de la hipérbola es C((5+(-7))/2, 3) ,, C(-1,3) Eje real: 2.a = 12 ,, a =6 ,, e = c/a  c = e.a = 1,5.6 = 9 Eje imaginario: b = √ (c2 – a2 ) = √ (92 – 62 ) = √45 = 3√5 Ecuación: b2 (x + 1)2 – a2 (y – 3)2 = a2 b2  45x2 – 36y2 + 90x + 216y – 1899 = 0 5º.- Vértices: B(2, -2), B’(2, - 6),, Distancia focal: 2c=10 El centro de la hipérbola es C(2, (-6 – (-2))/2) ,, C(2, – 4) Semieje imaginario: b = (-2 – (– 6))/2 = 4/2 = 2 Semieje real: a = √ (c2 – b2 ) = √ (52 – 22 ) = √21 Ecuación: b2 (x – k)2 – a2 (y – h)2 = a2 b2  4 (x – 2)2 – 21 (y + 4)2 = 4.21  4x2 – 21y2 – 16x – 168y – 404 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar el centro, focos y semiejes de las hipérbolas siguientes: Ecuación general: b2x2 – a2 y2– 2b2kx + 2a2hy + b2k2 – a2h2 – a2b2 = 0 6º.- P: 9x2 – y2 – 6x + 4y – 12 = 0 Identificando términos, tenemos: b2 = 9  b=3 ,, a2 = 1  a= 1 2b2k = 6  18k = 6  k = 1/3 ,, 2a2h = 4  2h = 4  h = 2 C(1/3, 2) ,, c =√(a2 + b2) = √1+9 = √10 ,, F(1/3+√10, 2) y F’(1/3 - √10, 2) Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 12  9.1/9 – 1.4 – 9.1 = – 12 7º.- P: 4x2 – 4y2 – 8x – 20 = 0 b2 = 4  b= 2 ,, a2 = 4  a= 2 2b2k = 0  8k = 0  k = 0 ,, 2a2h = – 8  8h =– 8  h = – 1 C(0 , – 1) ,, c =√(a2 + b2) = √8 = 2√2 ,, F(2√2 , –1) y F’(- 2√2 , –1) Comprobando: b2k2 – a2h2 – a2b2 = – 20  4.0 – 4.1 – 4.4 = – 20 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT