Apuntes 1º Bachillerato CT DERIVADAS Y GRÁFICAS Tema 11 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Tema 11.5 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

LÍMITES EN TRIGONOMETRÍA Observar la figura. El radio de la circunferencia trigonométrica es la unidad. Tenemos el ángulo x, el sen x, el arco de longitud x y la tg x Podemos poner: sen x < x < tg x Dividiendo todo entre sen x queda: sen x x tg x -------- < --------- < ----------- sen x sen x sen x x 1 < --------- < cos x sen x Cuando x  0  1 < 0 / sen 0 < cos 0 0 Es decir 1 < 0 / sen 0 < 1  Lo que obliga a que --------- = 1 sen 0 tg x sen x x x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Sea f(x) = sen x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) sen (x+h) – sen x f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ = h 0 h h0 h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: 2.cos [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím ------------------------------------------------ = h 0 h sen (h/2) sen h/2 = lím cos [x+(h/2)] . ------------- = cos x . Lim ------------ = cos x . 1 = cos x h 0 h/2 h0 h/2 Puesto que hemos visto antes que el último límite vale 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Sea f(x) = cos x Aplicando la definición de derivada de una función: f (x + h) - f(x) cos (x+h) – cos x f ‘ (x) = lím ------------------- = lim ------------------------ = h 0 h h0 h Aplicando la conversión de sumas en productos de trigonometría: - 2.sen [(x+h+x)/2] . sen [(x+h – x)/2] f ‘ (x) = lím ------------------------------------------------ = h 0 h sen (h/2) sen h/2 = lím - sen [x+(h/2)] . ------------- = - sen x . Lim ------------ = - sen x h 0 h/2 h0 h/2 Puesto que se puede comprobar que el último límite vale 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Sea f(x) = tg x Aplicando la definición de tangente: tg x = sen x / cos x Derivando como una división de funciones que es: cos x. cos x – sen x. (- sen x) (cos x)2 + (sen x)2 1 f ‘ (x) = ------------------------------------------- = ------------------------ = ---------- (cos x)2 (cos x)2 (cos x)2 Como 1/ cos x = sec x Queda: f ‘ (x) = 1 / cos2 x O también f ‘ (x) = sec2 x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Sea f(x) = sec x Aplicando la definición de secante: sec x = 1 / cos x Y se derivaría como una división – (- sen x) sen x tg x f ‘ (x) = ---------------- = ------------ = ---------- (cos x)2 (cos x)2 cos x Sea f(x) = cosec x Aplicando la definición de cosecante: cosec x = 1 / sen x – cos x - cos x - 1 f ‘ (x) = -------------- = ------------ = ---------------- (sen x)2 (sen x)2 tg x . sen x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

OTRAS DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS Sea f(x) = cotg x Aplicando la definición de secante: cotg x = cos x / sen x Y se derivaría como una división (– sen x).sen x – cos x. cos x – (sen x)2 – (cos x)2 – 1 f ‘ (x) = ----------------------------------------- = --------------------------- = ---------- (sen x)2 (sen x)2 (sen x)2 Sea f(x) = sen g(x) Sea f(x) = cos g(x) Sea f(x) = tg g(x) Etc … Se aplicaría la Regla de la Cadena para funciones compuestas. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplos y = sen x2  y ‘ = cos x2 . 2x y = cos x3  y ‘ = - sen x3 . 3x2 y = ln sen x  y ‘ = cos x / sen x = cotg x y = log cos x  y ‘ = (- sen x / cos x) / ln 10 y = sen ln x  y ‘ = cos ln x . (1 / x) y = sen3 x  y ‘ = 3. sen2 x . cos x y = cos5 x3  y ‘ = 5. cos4 x3 . (– sen x3). 3x2 y = √sen x  y ‘ = (1/2) (sen x)-1/2 . cos x @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Tema 11.6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS DEL ARCO SENO Sea f(x) = arcsen x Es la función inversa de f(x) = sen x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = sen x e y = arcsen x son funciones inversas: sen(arcsen x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (cos(arcsen x)).(arcsen x)’ = 1 Como sabemos que: (sen(arcsen x))2 + (cos(arcsen x))2 = 1 También sabemos que sen(arcsen x) = x Luego x2 + (cos(arcsen x))2 = 1  (cos(arcsen x)) = √(1 - x2) Despejando: (arcsen x)’ = 1 / (cos(arcsen x)) Resultando que f ’(x) = 1 / √(1 - x2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS DEL ARCO COSENO Sea f(x) = arccos x Es la función inversa de f(x) = cos x Su dominio está limitado a [-π/2, π/2], pues sino no sería función. Como y = cos x e y = arccos x son funciones inversas: cos(arccos x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (- sen(arccos x)).(arccos x)’ = 1 Como sabemos que: (sen(arccos x))2 + (cos(arccos x))2 = 1 También sabemos que cos(arccos x) = x Luego (sen(arccos x))2 + x2 = 1  (sen(arccos x)) = √(1 - x2) Despejando: (arccos x)’ = 1 / (- sen(arccos x)) Resultando que f ’(x) = – 1 / √(1 - x2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

DERIVADAS DEL ARCO TANGENTE Sea f(x) = arctg x Es la función inversa de f(x) = tg x Su dominio es todo R. Como y = tg x e y = arctg x son funciones inversas: tg(arctg x) = x Aplicando la regla de la cadena a la igualdad tenemos: (1 / (cos(arccos x))2).(arctg x)’ = 1 Como sabemos que: 1 / (cos(arccos x))2 = (sec(arctg x))2 También sabemos que (sec(arctg x))2 = (tg(arctg x))2 + 1 Y por último como tg(arctg x) = x  (sec(arctg x))2 = x2 + 1 Despejando: (arctg x)’ = 1 / (x2 + 1) Resultando que f ’(x) = 1 / (x2 + 1) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Ejercicios propuestos Aplicando la Regla de la Cadena hallar las derivadas de: y = arcsen x2  y ‘ = y = arccos x3  y ‘ = y = ln arcsen x  y ‘ = y = log arctg x  y ‘ = y = arctg ex  y ‘ = y = arcsen3 x  y ‘ = y = arccos5 x3  y ‘ = y = √arcsen ex  y ‘ = @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT