Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 7 Números complejos @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT TEMA 7.1 * 1º BCT FORMA BINÓMICA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

Apuntes 1º Bachillerato CT LOS NUMEROS COMPLEJOS La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en el campo de los números reales. Al tratar de resolverla nos da: x=±√-1 Igual ocurre con la ecuación x2+3x +5=0 Al resolverla nos da – 3 ± √(9 – 20) – 3 ± √(–11) x=--------------------- = ------------------- 2 2 loge(-2) no es un número real, pues ya se dijo que no existen logaritmos de números negativos. Tampoco es un número real (-2)p , pues no existen potencias de base negativa y exponente no entero. Estos ejemplos, entre otros muchos, hacen necesario en matemáticas un nuevo tipo de números llamados NÚMEROS COMPLEJOS. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT NÚMEROS IMAGINARIOS Hasta ahora sólo se había operado con números reales. Hay multitud de veces que al operar obtenemos resultados “raros”, como una raíz cuadrada de - 4 Son los llamados NÚMEROS IMAGINARIOS. Si los números reales se representan sobre el eje Real o eje de las X, los números imaginarios se representan sobre el eje Imaginario o eje de las Y. Si la unidad de los números reales es el 1, la unidad de los números imaginarios es el “i”, cuyo valor es la raíz cuadrada de - 1. i = √-1 i 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT FORMA BINÓMICA FORMA BINÓMICA DEL NÚMERO COMPLEJO Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las X ( eje R) será un número real. Todo número que gráficamente se encuentre sobre el eje de las Y ( eje I) será un número imaginario. Así las cosas, todo punto que no esté sobre alguno de los ejes, tendrá una componente real y otra imaginaria. Son los llamados NÚMEROS COMPLEJOS. Los números complejos se representan por la letra Z. El punto que simboliza gráficamente el número complejo se llama AFIJO. Al tener dos partes bien distintas, esa primera forma de expresar un número complejo como suma de otros dos, uno real y otro imaginario, se llama forma BINÓMICA. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Los números complejos en forma binómica se escriben: z = a + bi Donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria. Si b = 0  tenemos un número real Si a = 0  tenemos un número imaginario puro Al resolver las ecuaciones: La primera tiene como soluciones x = i y x = - i La segunda tiene como soluciones x = 2i y x = - 2i Ambas soluciones son números imaginarios. Dos números complejos son iguales, si sus partes reales e imaginarias son iguales respectivamente. Ejemplo: z1 = a+bi ,, z2 = c+di Si z1=z2  a=c y b=d @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT El opuesto a un número complejo es el que presenta ambas partes ( real e imaginaria) opuestas a las originales. El opuesto de z = a + bi es – z = – a – bi Un número complejo conjugado de otro tiene igual su parte real y opuesta su parte imaginaria: Ejemplos _ z= 3 – 4i  -z = - 3 + 4i z = 3 + 4i z= – 4 + 3i  -z = 4 – 3i z = 4 + 2i z= – 12 – 5i  -z = 12 + 5i z = – 12 + 5i z= 6 + 8i  -z = – 6 – 8i z = 6 – 8i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7

REPRESENTACIÓN GRÁFICA Representación gráfica de un número complejo Sobre unas coordenadas cartesianas se representa en el eje de abscisas la componente real y en el de ordenadas la componente imaginaria. Asociamos a cada número complejo un vector, cuyo origen es el origen de coordenadas, O, y cuyo extremo es el punto de coordenadas (a,b), al que llamamos afijo del número complejo. z1= 4+5i z3= – 2+3i z1= – 2i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8

REPRESENTACIÓN GRÁFICA z1= 4+5i z3= – 2+3i _ z1= – z1 = 2i _ z3= – 2 – 3i - z3= 2 – 3i z1= – 2i _ z1= 4 – 5 i –z1= – 4 – 5i @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9

Apuntes 1º Bachillerato CT MÓDULO Y ARGUMENTO El módulo de un número complejo es el módulo del vector que le representa. El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el semieje positivo de abscisas con el vector que representa al número complejo. Ejemplo z1=-1+i  arg z = α  tg α = 1/(-1)  α = arctg -1 = 135º z2=1 – i  arg z = α  tg α = -1/1  α = arctg -1 = 225º En ambos casos nos da aparentemente el mismo ángulo. Para saber cual de los dos ángulos que cumplen la condición es el argumento, se miran los signos de a y de b y se escoge el ángulo del cuadrante que corresponde con esos signos. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10

Apuntes 1º Bachillerato CT Módulo y argumento Ejemplos z= 3 – 4i  |z| = √9+16 = 5 α = arctg -4/3 = - 53,13º z= – 4 + 3i  |z| = √16+9 = 5 α = arctg -4/3 = 233,13º z= – 12 – 5i  |z| = √144+25 = 13 α = arctg -5/-12 = 202,62º z= 6 + 8i  |z| = √36+64 = 10 α = arctg 8/6 = 53,13º z= – 10  |z| = √100+0 = 10 α = arctg 0/(-10) = 180º z= – 1 + i  |z| = √1+1 = √2 α = arctg -1 = 135º z= 6i  |z| = √0+36 = 6 α = arctg 6/0 = 90º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT