Apuntes 1º Bachillerato CT CÓNICAS TEMA 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT PARÁBOLA TEMA 6.6 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LA PARÁBOLA LA PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos cuya distancia a una recta llamada DIRECTRIZ es igual a la distancia a un punto fijo llamado FOCO. PD = PF Elementos Eje de simetría: Eje OY Parámetro: p = distancia entre el foco y la directriz. Directriz: y = - p/2 Foco: F(0, p/2) Vértice: V(0, 0) Radio vector: PF Excentricidad: e = PF/d(P, d) = 1 Y P(x, y) F p/2 X V d p/2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN REDUCIDA ECUACIÓN REDUCIDA Aplicando la definición: d(P, F) = d(P, d) Y P(x, y) F Elevando todo al cuadrado: p/2 X V Y simplificando, queda: d p/2 Que es la ECUACIÓN REDUCIDA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: 1º.- Foco: F(0, 4) ,, Directriz d: y = - 4 Vértice: V(0, (4-4)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 4-(-4)=8 Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = 16y ,, y = x2 /16 Cóncava 2º.- Foco: F(0, 0,25) ,, Directriz d: y = - 0,25 Vértice: V(0, (0,25-0,25)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 0,25-(-0,25)= 0,5 Ecuación: x2 = 2py ,, x2 = y ,, y = x2 Cóncava 3º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 3 Vértice: V(0, (3-3)/2) ,, V(0,0) Parámetro: p = 3-(-3)=6 Ecuación: x2 = - 2py ,, x2 = - 12y ,, y = - x2 /12 Convexa @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL Lo general es que el vértice de la parábola no sea el V(0, 0) sino un punto cualquiera V(k, h) Y La fórmula quedaría: P(x, y) F p/2 V(k, h) d p/2 X Que es la llamada ECUACIÓN GENERAL DESARROLLADA O @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar la ecuación de la parábola cuyos datos conocidos son: 4º.- Foco: F(-1, 3) ,, Directriz d: y = - 1 Vértice: V(k, h) ,, V(-1, (3+1)/2) ,, V(-1, 2) Parámetro: p = 3 -(-1)= 4 Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x + 1)2 = 8(y – 2) x2 + 2x + 1 = 8y – 16 ,, x2 + 2x – 8y + 17 = 0 5º.- Foco: F(3, 5) ,, Directriz d: y = 2 Vértice: V(k, h) ,, V(3, (5-2)/2) ,, V(3, 1,5) Parámetro: p = 5 – 2 = 3 Ecuación: (x – k)2 = 2p(y – h) ,, (x – 3)2 = 6(y – 1,5) x2 – 6x + 9 = 6y – 9 ,, x2 – 6x – 6y + 18 = 0 6º.- Foco: F(0, -3) ,, Directriz d: y = 5 Vértice: V(k, h) ,, V(0, (5 – 3)/2) ,, V(0, 1) Parámetro: p = 5-(-3)=8 Ecuación: (x – k)2 = – 2p(y – h) ,, x2 = – 16.(y – 1) x2 = – 16y + 16 ,, x2 + 16 y – 16 = 0 Convexa @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejercicios Hallar el foco, vértice y directriz de las parábolas siguientes: Ecuación general cóncava: x2 – 2kx – 2py + k2 + 2ph = 0 7º.- P: x2 – x – 3y + 7 = 0 Identificando términos, tenemos: 2k=1  k=1/2 ,, 2p = 3  p = 3/2 = 1,5 k2 + 2ph = 7  0,25 + 3 h = 7 ,, h = (7 – 0,25)/ 3 = 6,75/3 = 2,25 V(0’5, 2’25) ,, p = 1’5 ,, d: y = h – p/2 = 2,25 – 0,75 = 1,5 ,, F(0’25, 3) 8º.- P: x2 – 4x + 4y = 0 2k=4  k=2 ,, 2p = – 4  p = – 2  p = 2, pero es convexa El parámetro p es una distancia. Si da negativo, la parábola es convexa. k2 + 2ph = 0  4 + 4h = 0 ,, h = – 1  V(2 , – 1) d: y = h + p/2 = – 1 + 1 = 0 ,, d: y = 0 F(2, h – p/2)  F(2, – 1 – 1 ),, F(2 , –2) @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Otras ecuaciones Y Y d d p/2 F X p/2 X V V p/2 F Y d X V F @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT