Representacion de señales aperiodicas: La transformada continua de Fourier

Transformada de Fourier Una señal aperiodica puede ser representada por una señal periodica con periodo infinito. x ( t ) representa una señal aperiodica. x(t) −40−30−20−10010 Extension periodica: x T ( t ) = Σ ∞ k=−∞ x ( t + kT ) −40−30−20−10 l´ım Entonces x ( t ) = T → ∞ x T ( t )

Transformada de Fourier ak =ak = 1T 1T ∫ T /2T /2 −T / 2 xT (t)exT (t)e 2π2π T −jkt dt = 1T 1T ∫ T −T1−T1 2π2π 1 −jkt e T dt = sin 2 π kT 1 T πkπk = 2 sin ω T 1 T ω −40−30−20− Duracion del impulso: 2T −10−50510 − k Ta = 2 sin ω T 1 ω ω = k ω 0 = k 2πT2πT

Transformada de Fourier ak =ak = 1T 1T ∫ T /2T /2 −T / 2 xT (t)exT (t)e 2π2π T −jkt dt = 1T 1T ∫ T −T1−T1 2π2π 1 −jkt e T dt = sin 2 π kT 1 T πkπk = 2 sin ω T 1 T ω −40−30−20− −20−15−10− − Ta k = 2 sin ω T 1 ω ω = k ω 0 = k 2πT2πT

Transformada de Fourier ak =ak = 1T 1T ∫ T /2T /2 −T / 2 xT (t)exT (t)e 2π2π T −jkt dt = 1T 1T ∫ T −T1−T1 2π2π 1 −jkt e T dt = sin 2 π kT 1 T πkπk = 2 sin ω T 1 T ω −40−30−20− −40−30−20− Ta k = 2 sin ω T 1 ω ω = k ω 0 = k 2πT2πT

Transformada de Fourier ak =ak = 1T 1T ∫ T /2T /2 −T / 2 xT (t)exT (t)e 2π2π T −jkt dt = 1T 1T ∫ T −T1−T1 e 2π2π T 1 −jkt dt = sin 2 π kT 1 T πkπk = 2 sin ω T 1 T ω −40−30−20− −40−30−20− k lım Ta = l´ım T →∞T →∞ Σ, T /2T /2 −T / 2 x (t)ex (t)e 0 −jk ω t Σ 2 ω 1 dt =sin ω T = E ( ω )

Transformada de Fourier Como T → ∞ la sumatoria de sıntesis se convierte en integral T →∞ k lım Ta = lım ∫ T /2T /2 T →∞ −T / 2 −jωt−jωt 2 ω 1 x ( t ) edt =sin ω T = E (ω) x (t) =x (t) = ∞ Σ k=−∞ T 0 akak 1 E ( k ω ) e T 2π jkt = ∞ Σ 2π k=−∞ ω 0 E (ω) e jk ω 0 t → 1 T →∞ 2π ∫ ∞ −∞ jωjω E (ω) e d ω

Transformada de Fourier Reemplazando E (ω) por X ( j ω) E (ω) = X ( j ω) Transformada de Fourier X ( j ω) = ∫ ∞ −∞ −jωt−jωt x ( t ) edt Ecuacion de analisis x (t) =x (t) = 12π 12π ∫ ∞ −∞ jωtjωt X (j ω)ed ωX (j ω)ed ω Ecuacion de sintesis

Ejercicio Encuentre la transformada de Fourier del siguiente pulso cuadrado −5−4−3−2− ω 2ω−2ω2ω−2ω X (j ω) =(e− e)X (j ω) =(e− e) 2 2 ω 2ω−2ω2ω−2ω X (j ω) =(e− e)X (j ω) =(e− e) 3 1 X ( j ω) =sin(2ω) 4 ω2ω2 ω X ( j ω) =sin(ω) 5 Ninguna de las anteriores.

Ejercicio Encuentre la transformada de Fourier del siguiente pulso cuadrado −5−4−3−2− ∫ 2 −2−2 −jω−jω e −j ω t 2 X ( j ω) = edt =| −2 = − j ω 2 sin(2ω) ω

Ejercicio Encuentre la transformada de Fourier del siguiente pulso cuadrado5 −5−4−3−2− ω 2ω−2ω2ω−2ω X (j ω) =(e− e)X (j ω) =(e− e) 2 2 ω 2ω−2ω2ω−2ω X (j ω) =(e− e)X (j ω) =(e− e) 3 1 X ( j ω) =sin(2ω) 4 ω2ω2 ω X ( j ω) =sin(ω) 5 Ninguna de las anteriores.

Convergencia de las transformadas de Fourier La señal que se obtiene al usar X ( j ω) en la ecuacion de sıntesis x ˆ( t ) = 12π 12π ∫ +∞+∞ −∞ jωtjωt X (j ω)ed ωX (j ω)ed ω

Convergencia de las transformadas de Fourier La sen˜al que se obtiene al usar X ( j ω) en la ecuacion de sıntesis x ˆ( t ) = 12π 12π ∫ +∞+∞ −∞ jωtjωt X (j ω)ed ωX (j ω)ed ω ¿cu´ando x ˆ( t ) es una buena representaci´on de la sen˜al original x ( t )?. Si x ( t ) tiene energ´ıa finita, ∫ +∞+∞ −∞ 2 | x ( t )| dt < ∞

Convergencia de las transformadas de Fourier La sen˜al que se obtiene al usar X ( j ω) en la ecuacion de sıntesis x ˆ( t ) = 12π 12π ∫ +∞+∞ −∞ jωtjωt X (j ω)ed ωX (j ω)ed ω ¿cuando x ˆ( t ) es una buena representacion de la señal original x ( t )?. Si x ( t ) tiene energıa finita, ∫ +∞+∞ 2 | x ( t )| dt < ∞ −∞ el error denotado como e ( t ) entre x ( t ) y x ( t ) ∫ +∞+∞ −∞ 2 | e ( t )| dt = 0

Convergencia de las transformadas de Fourier Existe un conjunto de condiciones para asegurar que x ˆ( t ) sea igual a x ( t ). 1 x ( t ) sea absolutamente integrable, esto es, ∫ ∞ | x ( t )| dt < ∞ −∞

Convergencia de las transformadas de Fourier Existe un conjunto de condiciones para asegurar que x ˆ( t ) sea igual a x ( t ). 1 x ( t ) sea absolutamente integrable, esto es, ∫ ∞ | x ( t )| dt < ∞ −∞ 2 x ( t ) tenga un numero finito de maximos y mınimos dentro de cualquier intervalo finito.

Convergencia de las transformadas de Fourier Existe un conjunto de condiciones para asegurar que x ˆ( t ) sea igual a x ( t ). 1 x ( t ) sea absolutamente integrable, esto es, ∫ ∞ | x ( t )| dt < ∞ −∞ 2 3 x ( t ) tenga un numero finito de maximos y mınimos dentro de cualquier intervalo finito. x ( t ) tenga un numero finito de discontinuidades dentro de cualquier intervalo finito. Ademas, cada una de estas discontinuidades debe ser finita.

Ejemplo Considere la señal x ( t ) = e −at u ( t )

Ejemplo Considere la sen˜al x ( t ) = e −at u ( t ) para a > 0. De la ecuaci´on de analisis ∫ ∞ −∞ −jωt−jωt X ( j ω) = x ( t ) edt ∫ ∞ 0 −at −j ω t X ( j ω) = eedt = − 1 a + j ω e | −(a+jω)t ∞−(a+jω)t ∞ 0

Ejemplo Considere la sen˜al x ( t ) = e −at u ( t ) para a > 0. De la ecuacion de analisis ∫ ∞ −∞ −jωt−jωt X ( j ω) = x ( t ) edt ∫ ∞ 0 −at −j ω t X ( j ω) = eedt = − 1 a + j ω e | −(a+jω)t ∞−(a+jω)t ∞ 0 Esto es, X ( j ω) = 1 a + j ωa + j ω

Ejemplo Considere la sen˜al x ( t ) = e −at u ( t ) para a > 0. De la ecuacion de analisis ∫ ∞ −∞ −jωt−jωt X ( j ω) = x ( t ) edt ∫ ∞ 0 −at −j ω t X ( j ω) = eedt = − 1 a + j ω e | −(a+jω)t ∞−(a+jω)t ∞ 0 Esto es, X ( j ω) = 1 a + j ωa + j ω Para graficar en funci´on de ω expresamos X ( j ω) en t´erminos de su magnitud y de su fase: 1 |X (j ω)| = √a2 + ω2|X (j ω)| = √a2 + ω2 ≮ X ( j ω) = − tan −1−1 ω a. Σ. Σ

Ejemplo Graficas de magnitud y fase −6−4−20246 − /a −aa −6−4−20246 −  /2  /4 −  /4 −  /2 −a a

La transformada de Fourier para señales periodicas Consideremos una señal x ( t ) con transformada de Fourier X ( j ω) que consiste en un solo impulso de area 2π en ω = ω 0 ; esto es, X ( j ω) = 2πδ(ω − ω 0 )

La transformada de Fourier para señales periodicas Consideremos una señal x ( t ) con transformada de Fourier X ( j ω) que consiste en un solo impulso de area 2π en ω = ω 0 ; esto es, X ( j ω) = 2πδ(ω − ω 0 ) Podemos aplicar la relacion de la transformada inversa para obtener, x (t) =x (t) = 12π 12π ∫ +∞+∞ −∞ jωtjωt 2πδ(ω − ω 0 ) ed ω = e 0 jω tjω t

La transformada de Fourier para señales periodicas Si X ( j ω) es de la forma de una combinaci´on lineal de impulsos igualmente espaciados en frecuencia, esto es, +∞+∞ Σ X ( j ω) =2π a k δ(ω − k ω 0 ) k=−∞

La transformada de Fourier para señales periodicas Si X ( j ω) es de la forma de una combinaci´on lineal de impulsos igualmente espaciados en frecuencia, esto es, +∞+∞ Σ X ( j ω) =2π a k δ(ω − k ω 0 ) k=−∞ Aplicando la ecuaci´on de s´ıntesis, x (t) =x (t) = +∞+∞ Σ k=−∞ a k e jk ω 0 t

La transformada de Fourier para señales periodicas Aplicando la ecuaci´on de sıntesis, x (t) =x (t) = +∞+∞ Σ k=−∞ a k e jk ω 0 t

Ejemplo Los coeficientes de las serie de Fourier son k sin k ω 0 T 1 a = πkπk

Ejemplo Los coeficientes de las serie de Fourier son k sin k ω 0 T 1 a = πkπk Y su transformada de Fourier es X ( j ω) = +∞+∞ Σ k=−∞ 2 sin k ω T k 0 δ(ω − k ω )

Ejemplo Considere la sen˜al cuadrada −6−4− −0.5 −  Transformada de Fourier de una onda cuadrada peri´odica sim´etrica.

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Una señal aperiodica puede ser considerada como periodica con periodo infinito. Tome x [ n ] representa una señal aperiodica discreta. x[n] 1 0 N Extension periodica: X [ n ] = Σ ∞ k=−∞ x [ n + kN ] x[n] 1 −N 1 N 1 N x [ n ] = lım x N [ n ] N→∞

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Representando x N [ n ] por su serie de Fourier x[n] 1 N −N 1 N 1 k a =a = 1N 1N Σ N N 2π2π x [ n ] e −j N kn = 1 N N1N1 Σ n=−N1n=−N1 2π2π e −j N kn = 1 N sin( N +)(ω ) 1 sin( )ω 0 2 −6−4−

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Duplicando el perıodo, se duplica el numero de armonicos x[n] 1 N k a =a = 1N 1N Σ N N 2π2π x [ n ] e −j N kn = 1 N N1N1 Σ n=−N1n=−N1 2π2π e −j N kn = 1 N sin( N )(ω ) 1 sin( )ω 0 2 −15−10−

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Cuando N → ∞, x[n]1x[n]1 N k a =a = 1N 1N Σ N N 2π2π x [ n ] e −j N kn = 1 N N1N1 Σ n=−N1n=−N1 2π2π e −j N kn = 1 N sin( N +)(ω ) 1 sin( )ω 0 2 −30−20−

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Cuando N → ∞, x[n] 1 N k a =a = 1N 1N Σ N N 2π2π x [ n ] e −j N kn = 1 N N1N1 Σ n=−N1n=−N1 2π2π e −j N kn = 1 N sin( N +)(ω ) 1 sin( )ω 0 2 −30−20− k Na =Na = Σ n=<N>n=<N> x [ n ] e −j ω 0 kn = E ( k ω 0 ) = E (ω)

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Cuando N → ∞, x[n]1x[n]1 N −30−20− k Na =Na = Σ n=<N>n=<N> x [ n ] e −j ω 0 kn = E ( k ω 0 ) x [ n ] = Σ k=<N>k=<N> 1N 1N 0 E ( k ω ) e 2π2π N jkn x [ n ] = Σ ω 0 2πk=<N>2πk=<N> 0 jωnjωn E (kω )e→E (kω )e→ 1 N→∞ 2π ∫ 2π2π E (ω)ejωnd ωE (ω)ejωnd ω

Desarrollo de la transformada de Fourier de tiempo discreto Reemplazando E (ω) por X ( e j ω ), se describe la transformada de Fourier de tiempo discreto Transformada de Fourier de tiempo discreto X (ejω ) =X (ejω ) = ∞ Σ n=−∞ x [ n ] e −j ω n Ecuacion de analisis x [ n ] = 12π 12π ∫ 2π2π X (ejω )ejωnd ωX (ejω )ejωnd ω Ecuacion de sıntesis

La transformada de Fourier para sen˜ales peri´odicas Para deducir la forma de esta representaci´on, considere la sen˜al x [ n ] = e j ω 0 n

La transformada de Fourier para señales periodicas Para deducir la forma de esta representacion, considere la señal x [ n ] = e j ω 0 n La transformada de Fourier (ω 0 = ω) de x [ n ] debe tener impulsos en ω 0, ω 0 ± 2π, ω 0 ± 4π y as´ı sucesivamente. De hecho la transformada de Fourier de x [ n ] es un tren de impulsos X (ejω ) =X (ejω ) = +∞+∞ Σ l=−∞ 0 2πδ(ω − ω − 2π l )

La transformada de Fourier para señales periodicas La transformada de Fourier (ω 0 = ω) de x [ n ] debe tener impulsos en ω 0, ω 0 ± 2π, ω 0 ± 4π y as´ı sucesivamente. De hecho la trnasformada de Fourier de x [ n ] es un tren de impulsos X (ejω ) =X (ejω ) = +∞+∞ Σ l=−∞ 0 2πδ(ω − ω − 2π l ) b b bb b X(e jω ) 2π ω0ω0 ω 0 − 4π ω 0 − 2πω 0 + 2π ω 0 + 4π

La transformada de Fourier para señales periodicas +∞+∞ Σ 0 X ( e j ω ) =2πδ(ω − ω − 2π l ) l=−∞ X(e jω ) 2π b b bb b ω 0 − 4π ω 0 − 2π ω 0 ω 0 + 2π ω 0 + 4π Para verificar la validez de esta expresi´on, debemos evaluar la transformada inversa. Sustituyendo en la ecuaci´on de s´ıntesis, 12π 12π 2π2π X (ejω )ejωnd ω =X (ejω )ejωnd ω = 1 2π2π ∫ +∞+∞ Σ 2 π l=−∞ j ω n 2πδ(ω − ω 0 − 2π l ) ed ω

La transformada de Fourier para senales periodicas x [ n ] = e j ω 0 n Para verificar la validez de esta expresi´on, debemos evaluar la transformada inversa. Sustituyendo en la ecuaci´on de s´ıntesis, 12π 12π 2π2π X (ejω )ejωnd ω =X (ejω )ejωnd ω = 1 2π2π ∫ +∞+∞ Σ 2 π l=−∞ j ω n 2πδ(ω − ω 0 − 2π l ) ed ω Si el intervalo de integraci´on incluye el impulso localizado en ω 0 + 2π r, entonces 12π 12π ∫ 2π2π X ( e j ω ) e j ω n d ω = e j( ω 0 +2 π r )n = e j ω 0 n

La transformada de Fourier para sen˜ales peri´odicas Ahora considere una sen˜al peri´odica x [ n ] con periodo N y representaci´on en serie de Fourier x [ n ] = Σ k={N}k={N} a k e jk(2 π/ N)n

La transformada de Fourier para sen˜ales peri´odicas Ahora considere una sen˜al peri´odica x [ n ] con periodo N y representaci´on en serie de Fourier x [ n ] = Σ a k e jk(2 π/ N)n k={N} En este caso la transformada de Fourier es +∞+∞ Σ k=−∞. X (ejω ) =2πak δω −X (ejω ) =2πak δω − 2πkN2πkN Σ

La transformada de Fourier para sen˜ales peri´odicas Ahora considere una sen˜al peri´odica x [ n ] con periodo N y representaci´on en serie de Fourier x [ n ] = Σ a k e jk(2 π/ N)n k={N} En este caso la transformada de Fourier es +∞+∞ Σ k=−∞. X (ejω ) =2πak δω −X (ejω ) =2πak δω − 2πkN2πkN Σ de modo que la transformada de Fourier de una sen˜al peri´odica se puede construir de manera directa a partir de sus coeficientes de Fourier.

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Consideremos una sen˜al aperi´odica discreta x [ n ] con transformada de Fourier ∞ Σ X ( e j ω ) = x [ n ] e −j ω n n=−∞  Muestreando X (ω) peri´odicamente en frecuencia a un espaciamiento δ( w ) radianes entre muestras. X(  )

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Como X ( e j ω ) es peri´odica con periodo 2π, solo las muestras en ese intervalo son necesarias. Por conveniencia tomamos N equidistantes muestras en el intervalo 0 ≤ ω < 2π con espaciamiento δω = 2π/ N. Evaluando ω = 2π k / N en X (ω) obtenemos: X 2πN2πN Σ. k = X e 2π2π N jkjk Σ

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Como X ( e j ω ) es peri´odica con periodo 2π, solo las muestras en ese intervalo son necesarias. Por conveniencia tomamos N equidistantes muestras en el intervalo 0 ≤ ω < 2π con espaciamiento δω = 2π/ N. Evaluando ω = 2π k / N en X (ω) obtenemos: X 2πN2πN Σ. k = X e 2π2π N jkjk Σ X 2πN2πN Σ k =k = ∞ Σ n=−∞ x [ n ] e −j2 π kn / N k = 0, 1,..., N − 1k = 0, 1,..., N − 1

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto X 2πN2πN Σ k = · · · + −1−1 Σ n=−Nn=−N N−1N−1 Σ n=0 x [ n ] e −j2 π kn / N + 2N−12N−1 Σ n=Nn=N x [n]ex [n]e −j2 π kn / N + · · ·+ · · ·

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto X 2πN2πN Σ k = · · · + −1−1 Σ n=−Nn=−N N−1N−1 Σ n=0 x [ n ] e −j2 π kn / N + 2N−12N−1 Σ n=Nn=N x [n]ex [n]e −j2 π kn / N + · · ·+ · · · = ∞rN+N−1∞rN+N−1 Σ r =−∞ n=rN x [ n ] e −j2 π kn / N

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Cambiando el ´ındice de la sumatoria n a n − rN obtenemos: X 2πN2πN Σ k =k = N−1∞N−1∞ Σ n=0 r =−∞ x [ n − rN ] Σ e −j2 π kn / N Para k = 0, 1, 2,..., N − 1

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Cambiando el ´ındice de la sumatoria n a n − rN obtenemos: X 2πN2πN Σ k =k = N−1∞N−1∞ Σ n=0 r =−∞ x [ n − rN ] Σ e −j2 π kn / N Para k = 0, 1, 2,..., N − 1 La sen˜al ∞ Σ x p [ n ] = x [ n − rN ] r =−∞ Obtenida por la repetici´on peri´odica de x [ n ] cada N muestras puede ser expandida en series de Fourier a:

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto p N−1N−1 Σ x [ n ] = c k e j2πkn/Nj2πkn/N k=0 Con n = 0, 1,..., N − 1

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto p N−1N−1 Σ x [ n ] = c k e j2πkn/Nj2πkn/N k=0 Con n = 0, 1,..., N − 1 Con coeficientes ck =ck = 1N 1N N−1N−1 Σ n=0 x p [ n ] e −j2 π kn / N k 12π12π N c = Xk ΣΣ ΣΣΣ k = 0, 1,..., N − 1k = 0, 1,..., N − 1

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto p N−1N−1 Σ x [ n ] = c k e j2πkn/Nj2πkn/N k=0 Con n = 0, 1,..., N − 1 Con coeficientes ck =ck = 1N 1N N−1N−1 Σ n=0 x p [ n ] e −j2 π kn / N k 12π12π N c = Xk ΣΣ ΣΣΣ k = 0, 1,..., N − 1 Luego x p [ n ] = 1N 1N N−1N−1 Σ k=0 X 2πN2πN k Σ e j2 π kn / N

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto 0R Si x [ n ] es limitada en el tiempo a menos del periodo N de x p [ n ] x[n] 0RNRN p N>R −N0N x [n] p N<R

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Podemos considerar una secuencia de duraci´on finita para x [ n ]. Cuando N ≥ R en el intervalo 0 ≤ n ≤ N − 1, tenemos que x [ n ] = x p [ n ]

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Podemos considerar una secuencia de duraci´on finita para x [ n ]. Cuando N ≥ R en el intervalo 0 ≤ n ≤ N − 1, tenemos que x [ n ] = x p [ n ] Si N < R, no es posible recuperar x [ n ] de su extensi´on peri´odica debido al solape de la funci´on en el dominio del tiempo.

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Podemos considerar una secuencia de duraci´on finita para x [ n ]. Cuando N ≥ R en el intervalo 0 ≤ n ≤ N − 1, tenemos que x [ n ] = x p [ n ] Si N < R, no es posible recuperar x [ n ] de su extensi´on peri´odica debido al solape de la funci´on en el dominio del tiempo. Luego x [ n ] =. p x [ n ], 0 ≤ n ≤ N − 1 0,o.c.0,o.c.

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto En sen˜ales infinitas en el tiempo es posible expresar X (ω) en t´erminos de sus muestras X [2π k / N ], k = 0, 1,..., N − 1.

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto En sen˜ales infinitas en el tiempo es posible expresar X (ω) en t´erminos de sus muestras X [2π k / N ], k = 0, 1,..., N − 1. Asumiendo que N ≥ R, luego tenemos para 0 ≤ n ≤ N − 1 que x [ n ] = 1N 1N N−1N−1 Σ k=0 X 2πN2πN k Σ e j2 π kn / N

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto En sen˜ales infinitas en el tiempo es posible expresar X (ω) en t´erminos de sus muestras X [2π k / N ], k = 0, 1,..., N − 1. Asumiendo que N ≥ R, luego tenemos para 0 ≤ n ≤ N − 1 que x [ n ] = 1N 1N N−1N−1 Σ k=0 X 2πN2πN k Σ e j2 π kn / N X (ejω ) =X (ejω ) = N−1N−1 Σ Σ 1N 1N N−1N−1 Σ n=0 k=0 X 2πN2πN k Σ Σ e j2 π kn / N e −j ω n N−1N−1 Σ k=0 N =Xk=Xk Σ Σ 2π 12π 1 N N−1N−1 Σ n=0 e −j( ω −2 π k / N)n Σ

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstrucci´on de sen˜ales en el tiempo discreto Definiendo P(ω) =P(ω) = N−1N−1 n=0 e −j ω n = Σ 1 1 − e −j ω N 1 NN 1 − e −j ω sin (ω N /2) = e −j ω (N−1) / 2 Nsin (ω/2)

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstruccion de senales en el tiempo discreto Definiendo P(ω) =P(ω) = 1N 1N N−1N−1 Σ n=0 e −j ω n = 1 1 − e −j ω N N 1 − e −j ω sin (ω N /2) = e −j ω (N−1) / 2 Nsin (ω/2) Luego X ( e j ω ) se puede expresar para N ≥ R como N−1N−1 Σ k=0 ΣΣΣΣΣΣ 2π2π2π2π X (ω) = Xk P ω − kN Σ

Muestreo en el dominio de la frecuencia y la reconstruccion de señales en el tiempo discreto  La funcion sin (ω N /2)/( Nsin (ω/2)) se muestra a continuacion con N = 5 X(  )       Luego p 2πN2πN Σ k =k =. 1, k = 0 0, k = 1, 2,..., N − 1

Ejemplo Consideremos la sen˜al x [ n ] = a n u [ n ] Con 0 < a < 1 y frecuencia de muestreo en el espectro de ω k = 2π k / N, k = 0, 1,... N − 1. Determinar el espectro reconstruido para a = 0,8 con N = 5 y N = x[n]        |X(  )|

Ejemplo Para N= xˆ[n]xˆ[n] X[2  k/N]

Ejemplo Para N= xˆ[n]xˆ[n] X[2  k/N] Para N= xˆ[n]xˆ[n] X[2  k/N]

Transformada discreta de Fourier La secuencia de muestreo X [2π k / N ], k = 0, 1,..., N − 1; corresponde a una secuencia peri´odica x p [ n ] de periodo N, donde x p [ n ] es una versi´on peri´odica de x [ n ]. ∞ Σ x p [ n ] = x [ n − rN ] r =−∞ p x [ n ] = Cuando la secuencia x [ n ] tiene una duraci´on finita de longitud R ≤ N, x p [ n ] es simplemente una repetici´on peri´odica de x [ n ], luego se tiene que en un periodo. p x [n],0 ≤ n ≤ R − 1x [n],0 ≤ n ≤ R − 1 0,R ≤ n ≤ N − 10,R ≤ n ≤ N − 1

Transformada discreta de Fourier Entonces se tiene que: DFT N−1N−1 Σ X [k] =x [n]eX [k] =x [n]e −j2 π kn / N n=0 k = 0, 1, 2,..., N − 1 IDFT x [ n ] = 1N 1N N−1N−1 Σ k=0 X [k]eX [k]e j2πkn/Nj2πkn/N n = 0, 1, 2,..., N − 1n = 0, 1, 2,..., N − 1