La Transformada z Definición de la transformada z

Presentación del tema: "La Transformada z Definición de la transformada z"— Transcripción de la presentación:

1 La Transformada z Definición de la transformada z
Propiedades y transformadas comunes Representación de sistemas LTI de tiempo discrete mediante la transformada z Función de transferencia de sistemas de tiempo discreto

2 La Transformada z La Transformada z
Como se vio anteriormente, para un sistema discreto lineal e invariante en el tiempo (LTI) con la respuesta al impulso h[n], la respuesta y[n] del sistema a una entrada exponencial compleja de la forma 𝒛 𝒏 es donde para 𝒛= 𝒆 𝒋𝝎 con ω (es decir, con |z| = 1), la sumatoria de la ecuación (10.2) corresponde a la transformada de Fourier de tiempo discreto de h[n]. De manera más general, cuando |z| no está restringida a la unidad, la sumatoria se conoce como la transformada z de h[n]. La transformada z de una señal discreta general x[n] se define como donde z es una variable compleja.

3 La Transformada z Por conveniencia, la transformada z de x[n] se denota algunas veces como Z{x[n]} y la relación entre x[n] y su transformada z se indica como Anteriormente examinamos varias relaciones importantes entre la transformada de Laplace y la transformada de Fourier para señales continuas. En forma similar, pero no idéntica, hay un gran número de relaciones importantes entre la transformada z y la transformada de Fourier de tiempo discreto. Para explorar estas relaciones, expresemos la variable compleja z en forma polar como Siendo r la magnitud de z y ω su ángulo. En términos de r y ω, la ecuación (10.3) pasa a ser o, de manera equivalente,

4 La Transformada z A partir de la ecuación (10.6) vemos que 𝑿(𝒓 𝒆 𝒋𝝎 ) es la transformada de Fourier de la secuencia x[n] multiplicada por una exponencial 𝒓 −𝒏 ; esto es, La exponencial que pondera a x[n] puede ser creciente o decreciente al incrementarse n, dependiendo de si r es mayor que o menor que la unidad. En particular, podemos observar que, para r = 1 o, de forma equivalente |z| = 1, la ecuación (10.3) se reduce a la transformada de Fourier; es decir, La relación entre la transformada z y la transformada de Fourier para señales discretas se asemeja mucho al análisis correspondiente para señales continuas, pero con algunas diferencias importantes. En el caso continuo, la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier cuando la parte real de la variable transformada es cero. Si interpretamos lo anterior en términos del plano s, esto significa que la transformada de Laplace se reduce a la transformada de Fourier sobre el eje imaginario (es decir, para s = jω. En contraste, la transformada z se reduce a la transformada de Fourier discreta cuando la magnitud de la variable de transformación z es unitaria (es decir, para 𝒛= 𝒆 𝒋𝝎 ). Por lo tanto, la transformada z se reduce a la transformada de Fourier sobre un contorno del plano complejo z que corresponde a un círculo con radio unitario, como se indica en la figura El círculo en el plano z se conoce como el círculo unitario, y en el análisis de la transformada z juega un papel similar al que desempeña el eje imaginario en el plano s para la transformada de Laplace.

5 La Transformada z De la ecuación (10.7) vemos que para la convergencia de la transformada z requerimos que la transformada de Fourier de 𝒙[𝒏]𝒓 −𝒏 converja. Para cualquier secuencia específica x[n], esperaríamos que esta convergencia ocurriera para algunos valores de r pero no para otros. En general, la transformada z de una secuencia lleva asociado un rango de valores de z para el cual X(z) converge. Al igual que con la transformada de Laplace, este rango de valores se conoce como la región de convergencia (ROC). Si la ROC incluye el circulo unitario, entonces la transformada de Fourier también converge. Para ilustrar la transformada z y la región de convergencia asociada, examinemos varios ejemplos.

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9 La Transformada z Comparando las ecuaciones (10.9) y (10.11), así como las figuras 10.2 y 10.3, vemos que la expresión algebraica de X(z) y el diagrama de polos y ceros correspondiente son idénticos en los ejemplos 10.1 y 10.2, y la transformada Z difiere sólo en sus regiones de convergencia. Por lo tanto, al igual que con la transformada de Laplace, la especificación de la transformada z requiere tanto de la expresión algebraica como de la región de convergencia. Asimismo, en ambos ejemplos las secuencias fueron exponenciales y las transformadas z resultantes fueron racionales. De hecho, como sugiere el próximo ejemplo, X(z) será racional siempre que x[n] sea una combinación lineal de exponenciales reales o complejas:

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13 La Transformada z En cada uno de los cuatro ejemplos anteriores expresamos la transformada z como una relación de polinomios en z y también como una relación de polinomios en e 𝒛 −𝟏 . A partir de la definición de la transformada z obtenida en la ecuación (10.3) vemos que, para secuencias que son cero para n < 0, X(z) contiene sólo potencias negativas de z. Por lo tanto, para esta clase de señales es particularmente cómodo expresar X(z) en términos de polinomios en 𝒛 −𝟏 en lugar de z, y cuando sea apropiado usaremos esta forma en nuestro análisis. Sin embargo, la referencia a los polos y ceros siempre es en términos de las raíces del numerador y del denominador expresadas como polinomios en z. Además, algunas veces resulta conveniente referirse a X(z), presentada como una razón de polinomios en z, como si tuviera polos en el infinito si el grado en el numerador excediera el grado del denominador o ceros en el infinito si el numerador fuera de menor grado que el denominador.

14 La Región de Convergencia de la Transformada z
A continuación, exploraremos varias de las propiedades de la región de convergencia para la transformada z. Cada una de las siguientes propiedades y su justificación son muy semejantes a las correspondientes propiedades de la ROC de la transformada de Laplace. Se deja al estudiante el análisis de las comprobaciones de las mismas, presentadas en el libro de texto. Esta propiedad se ilustra en la figura 10.6, y se desprende del hecho de que la ROC consiste de aquellos valores de 𝒛=𝒓 𝒆 𝒋𝝎 para los cuales 𝒙[𝒏] 𝒓 −𝒏 tiene una transformada de Fourier que converge. Esto es, la ROC de la transformada z de x[n] consiste de los valores de z para los cuales 𝒙[𝒏] 𝒓 −𝒏 es absolutamente sumable:

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24 La Transformada z De este modo, para secuencias izquierdas, los polos de X(z) diferentes de cualquiera que esté en z = 0 están mas alejados del origen que lo esta algún punto en la ROC. Para un determinado patrón de polos y ceros o, de forma equivalente, una determinada expresión algebraica racional X(z), hay un numero limitado de ROC diferentes que son congruentes con las propiedades anteriores. Para ilustrar como las diferentes ROC pueden asociarse con el mismo patrón de polos y ceros, presentamos el siguiente ejemplo.

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26 La Transformada z Inversa
Ahora examinaremos varios procedimientos para obtener una secuencia cuando se conoce su transformada z. Para empezar, consideremos la relación formal que expresa una secuencia en términos de su transformada z. Dicha expresión se puede obtener con base en la interpretación, desarrollada de la transformada z como la transformada de Fourier de una secuencia exponencialmente ponderada. En concreto, coma se expresa en la ecuación (10.7), para cualquier valor de r tal que 𝒛=𝒓 𝒆 𝒋𝝎 esté dentro de la ROC. Aplicando la transformada inversa de Fourier a ambos miembros de la ecuación (10.38) se obtiene o Usando la expresión de la transformada inversa de Fourier, tenemos

27 La Transformada z o, moviendo el factor exponencial 𝒓 𝒏 dentro de la integral y combinándolo con el término 𝒆 𝒋𝝎𝒏 , tenemos Esto es, podemos recuperar x[n] a partir de su transformada z evaluada a lo largo de un contorno 𝒛=𝒓𝒆 𝒋𝝎 en la ROC, con r fija y una ω variante sobre un intervalo de 2π. Cambiemos ahora la variable de integración ω a z. Con 𝒛=𝒓𝒆 𝒋𝝎 y r fija, entonces dz = jr 𝒆 𝒋𝝎 dω = jz dω, o dω = (1/j) 𝒛 −𝟏 𝒅𝒛. La integración en la ecuación (10.40) se da sobre un intervalo de 2π en ω el cual, en términos de z, corresponde a una vuelta alrededor del circulo |z| = r. En consecuencia, en términos de una integración en el plano z, la ecuación (10.40) puede rescribirse como donde el símbolo ∳ denota la integración alrededor de un contorno circular cerrado en sentido contrario a las manecillas del reloj, centrado en el origen y con radio r. El valor de r puede escogerse como cualquier valor para el cual X(z) converge, es decir, cualquier valor tal que el contorno circular de la integración |z| = r esté en la ROC. La ecuación (10.41) es la expresión formal de la transformada z inversa y es la contraparte de tiempo discreto de la transformada inversa de Laplace.

28 La Transformada z Al igual que con la transformada de Laplace inversa, la evaluación formal de la ecuación (10.41) de la transformada inversa requiere que se utilice la integración de contorno en el plano complejo. Sin embargo, existen diversos procedimientos alternativos para obtener una secuencia a partir de su transformada z. Al igual que con las transformadas de Laplace, un procedimiento particularmente útil para transformadas z racionales consiste en expandir la expresión algebraica en una expansión por fracciones parciales y reconocer las secuencias asociadas con cada uno de los términos individuales. En los siguientes ejemplos ilustraremos dicho procedimiento.

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31 La Transformada z Los ejemplos anteriores ilustran el procedimiento básico involucrado en la utilización de la expansión por fracciones parciales para determinar la transformada z inversa. Como sucede con el método correspondiente para la transformada de Laplace, el procedimiento se basa en expresar la transformada z como una combinación lineal de términos más simples. La transformada inversa de cada término se obtiene por inspección. En particular, suponga que la expansión en fracciones parciales de X(z) tiene la forma

32 La Transformada z de manera que la transformada in versa de X(z) es igual a la suma de las transformadas inversas de los términos individuales en la ecuación. Si la ROC de X(z) esta fuera del polo en 𝒛 = 𝒂 𝒊 , la transformada inversa del término correspondiente en la ecuación (10.55) es 𝑨 𝒊 𝒂 𝒊 𝒏 𝒖[𝒏]. Por otro lado, si la ROC de X(z) esta dentro del polo en 𝒛 = 𝒂 𝒊 , la transformada inversa de este termino es −𝑨 𝒊 𝒂 𝒊 𝒏 𝒖[−𝒏−𝟏]. En general, la expansión por fracciones parciales de una transformada racional puede incluir otros términos además de los de primer orden en la ecuación (10.55). Más adelante, mencionamos otros pares de transformadas z que pueden usarse en conjunto con las propiedades de la transformada z que se desarrollarán para extender a transformadas z racionales y arbitrarias el método de la transformada inversa esbozado anteriormente. Otro procedimiento muy útil para determinar la transformada z inversa se basa en una expansión en series de potencias de X(z). Lo que motivó a desarrollar este procedimiento fue la observación de que la definición de la transformada z proporcionada en la ecuación (10.3) se puede interpretar como una serie de potencias que involucra potencias de z tanto positivas como negativas. Los coeficientes de esta serie de potencias son, de hecho, los valores de la secuencia x[n]. Para demostrar como una expansión en series de potencias puede usarse para obtener la transformada z inversa, veamos tres ejemplos.

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35 La Transformada z El método de expansión en serie de potencias para obtener la transformada z inversa es en particular útil para transformadas z no racionales, lo cual demostraremos con un ejemplo adicional.

36 Propiedades y algunos pares de la Transformada z
Al igual que con las otras transformadas que hemos desarrollado, la transformada z posee diversas propiedades que la hacen una herramienta extremadamente útil para el estudio de señales y sistemas discretas. En la tabla 10.1 se resumen muchas de estas propiedades.

37 La Transformada z Las deducciones son análogas a las deducciones que se hicieron para las propiedades de las otras transformadas, por lo que su estudio y análisis se dejan al estudiante. Estas deducciones se pueden encontrar en el libro de texto. En la tabla 10.2 se muestran algunos pares relevantes de la transformada a.

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43 La Transformada z Análisis y caracterización de los sistemas LTI usando las transformadas z La transformada z juega un papel particularmente importante en el análisis y representación de sistemas LTI discretos. De la propiedad de convolución, donde X(z), Y(z) y H(z) son las transformadas z de la entrada, la salida y la respuesta al impulso del sistema, respectivamente. H(z) se conoce como la función de transferencia del sistema o la función del sistema. Para z evaluada en el círculo unitario (es decir, para 𝒛= 𝒆 𝒋𝝎 ), H(z) se reduce a la respuesta en frecuencia del sistema, siempre que el círculo unitario este en la ROC de H(z). También, sabemos que si la entrada a un sistema LTI es la señal exponencial compleja 𝒙 𝒏 = 𝒛 𝒏 , entonces la salida será 𝑯(𝒛)𝒛 𝒏 . Es decir, 𝒛 𝒏 es una función propia del sistema con valor propio dado por H(z), la transformada z de la respuesta al impulso. Muchas propiedades de un sistema pueden estar relacionadas directamente con las características de los polos, de los ceros y de la región de convergencia de la función del sistema, y aquí ilustraremos algunas de estas relaciones mediante el examen de diversas propiedades del sistema y, de una importante clase de sistemas. El análisis y estudio de las deducciones de estas propiedades se dejan al estudiante. Estas deducciones se encuentran en el libro de texto del curso.

44 La Transformada z Causalidad

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46 La Transformada z Estabilidad

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49 La Transformada z Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes constantes Para los sistemas caracterizados por ecuaciones de diferencias lineales con coeficientes constantes, las propiedades de la transformada z proporcionan un procedimiento particularmente conveniente para obtener la función del sistema, la respuesta en frecuencia o la respuesta en el dominio del tiempo del sistema. Ilustraremos esto con un ejemplo.

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51 La Transformada z Para el caso mas general de una ecuaci6n de diferencias de orden N, procedemos de forma similar al ejemplo 10.25, aplicando la transformada z a ambos miembros de la ecuación y usando las propiedades de linealidad y desplazamiento en tiempo. En particular, considere un sistema LTI para el cual la entrada y la salida satisfacen una ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes de la forma Entonces tomamos las transformadas z en ambos miembros de la ecuación (10.105) y utilizamos las propiedades de linealidad y desplazamiento en el tiempo para obtener o tal que

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