Elasticidad de Materiales Sólidos ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Torsión

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Contenido Asignatura – Física II Sección 1 - Deformaciones en un árbol circular Sección 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión Sección 3 - Ejes estáticamente indeterminadosSección 3 - Ejes estáticamente indeterminados Sección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angularSección 4 – Relación entre torsor, potencia y velocidad angular Sección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circularesSección 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares Sección 6 - Resumen de ecuacionesSección 6 - Resumen de ecuaciones

Deformaciones en un árbol circular Asignatura Física II Un momento de torsión o par torsor es aquel que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje longitudinal. Su efecto es de interés primordial en el diseño de ejes de transmisión, utilizados ampliamente en vehículos y maquinaria. ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física

Se puede ilustrar qué ocurre físicamente cuando un momento de torsión se aplica a un eje circular hecho de un material muy elástico, como el hule, por ejemplo. Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se mantienen como tales, experimentando una rotación en el plano del momento. Las líneas longitudinales se convierten en hélices que intersectan siempre con el mismo ángulo a los círculos transversales. ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura Física II

Extraeremos a continuación una porción cilíndrica y consideraremos un pequeño elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de dicha porción. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un rombo, tal como se muestra. ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura Física II

Observemos la figura. Si el ángulo  es muy pequeño, se puede establecer: ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Donde AA’ es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido a torsión,θ es el ángulo de giro (en radianes) entre dos secciones transversales separadas una longitud L, ρ es el radio de la porción cilíndrica considerada y  es la deformación cortante, en radianes. Asignatura Física II

Ley de Hooke para Torsión De forma similar al caso de esfuerzos normales, existe también una relación proporcional entre las deformaciones cortantes que ocurren en el rango elástico y los esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones. Matemáticamente, podemos expresar dicha relación como sigue: Donde “  ”  es el esfuerzo cortante, “  ” es la deformación cortante y “G” es el módulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de elasticidad (“E”) de la siguiente forma: Siendo “ ” el módulo de Poisson. ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II

Para realizar la deducción de una expresión que nos permita hallar la distribución de esfuerzos cortantes en una sección transversal debido a un momento torsor aplicado en ella, asumiremos lo siguiente: - Las secciones circulares permanecen como tales. - Las secciones transversales se mantienen planas, sin alabearse. - Las líneas radiales permanecen rectas aún después de la deformación. - El eje está sometido a la acción de pares torsores. - Las deformaciones producidas ocurren en el rango elástico del material. ______________________________________________________________________________ Universidad nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsión

Si recordamos la relación de deformación establecida anteriormente: Notaremos que para una deformación dada, los valores de “  ” y “L” se mantienen constates, de forma que “  ” varía linealmente con “  ”. Podemos establecer entonces el valor máximo de la deformación “  ” : Luego: Y, finalmente: ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II

Recordando que la deformación se realiza en el rango elástico del material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresión y nos queda: Aplicar la primera condición de equilibrio nos aportará una información que ya conocemos: la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Estudiaremos entonces que sucede con la segunda condición de equilibrio: Sacando de la integral los términos constantes, nos queda: ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II

Donde la integral resultante es una propiedad de área conocida como momento polar de inercia (“J”). Podemos rescribir entonces la expresión de la forma: Recordando que anteriormente se estableció que: Sustituimos esto en la expresión anterior y nos queda: ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II Para un árbol circular hueco el momento polar de inercia J es:

Finalmente, obtenemos lo siguiente: ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Nótese que, para barras de sección circular, la variación del esfuerzo cortante es lineal respecto al radio de la sección. Por otro lado, como se estudió en el capítulo anterior, el esfuerzo cortante debe actuar también en otro plano perpendicular al de la sección transversal para conseguir el equilibrio del elemento diferencial. Asignatura: Física II

De forma similar al caso de carga axial, podemos utilizar expresiones referidas a estas deformaciones para resolver casos estáticamente indeterminados. Nos interesa entonces determinar una expresión que relacione el par torsor “T” con el ángulo de giro entre secciones transversales “  ”. ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Ejes estáticamente indeterminados Como observamos anteriormente, un par torsor ejercido sobre una barra produce una rotación relativa entre secciones transversales que se encuentren separadas por una longitud “L”.

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Juntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer lugar, encontramos que podemos relacionar el ángulo “  ” con la deformación cortante “  ” mediante la expresión: En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke: Finalmente, la ecuación que relaciona el par torsor con el esfuerzo cortante, determinada recientemente: Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Si sustituimos las expresiones resultantes del despeje de “  ” y “  ” en la ley de Hooke, obtendremos: Finalmente, para barras de sección circular: Esta ecuación resulta de gran utilidad en casos donde las condiciones de estática resultan insuficientes para determinar las cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de torsión. Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Observemos el caso mostrado en la figura. En ella se presentan dos barras solidarias, de sección transversal circular, empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor “T” en su unión. La condición de equilibrio que puede establecerse es la siguiente: Notemos que tenemos una ecuación y dos incógnitas (“T A ” y “T C ”). Un segunda relación se obtiene de las deformaciones debido a los pares torsores. Para poder establecer esta relación, es necesario primero definir los pares torsores al que están sometidos los segmentos “AB” y “BC”. Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física En primer lugar, estudiemos el tramo AB. El torsor aplicado sobre este segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda entonces: Luego, aplicamos un procedimiento similar para el siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de aplicación del siguiente torsor, obtenemos: Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y física La condición de deformación que debe cumplirse es la siguiente: Donde “  B/A ” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “A” y “  B/C ” es el ángulo que gira la sección “B” respecto a la “C”. Nótese que deben ser iguales; entonces: Sustituyendo “T AB ” y “T BC ”, obtenemos la segunda ecuación que necesitamos para resolver el sistema: Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Relación entre torsor, potencia y velocidad angular Como se mencionó al principio de este capítulo, el interés principal de estudiar el fenómeno de torsión sobre barras circulares reside en que éstas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien sea en conjunto con poleas y correas ó con engranajes.

El trabajo mecánico desarrollado por fuerzas F actuando tangencialmente a los elementos dl del árbol circular de diámetro D=2r es: La potencia mecánica P se define como: Entonces de la relación anterior tenemos: De donde: T= par torsor = velocidad angular

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física En el diseño de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente. La primera, es la expresión matemática que indica la potencia que comunica un eje ó una polea: Donde P es la potencia transmitida, “  ” es la velocidad angular y “T” el torsor al que está sometido el eje, la polea ó el engranaje. También se utilizará la relación de transmisión (“m”), que se define como la proporción de velocidad ó torque que existe entre el sistema conductor y el conducido: La relación de transmisión siempre debe ser mayor que la unidad. Como la mayoría de los sistemas de transmisión son reductores (es decir, reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado de la forma mostrada. En caso contrario, deben invertirse los términos. Asignatura: Física II

La polea de la figura se une al eje en el que va montada por medio de una chaveta de 1x1x6 cm. El eje tiene un diámetro de 5 cm y la polea transmite una potencia de 15 HP, girando a 120 rpm. Hallar el esfuerzo de cortadura en la chaveta SOLUCIÓN: La potencia y la velocidad angular la debemos expresar en unidades que nos permitan simplificaciones El momento torsor es:

Debido a que el sistema está en equilibrio: Esta fuerza actuando sobre la sección recta de la chaveta el valor del esfuerzo en esta sección La sección recta de la chaveta tiene un área de: Luego el esfuerzo será:

EJEMPLO: Para el eje cilíndrico hueco que se muestra en la figura: a)Cual es el mayor torque que puede aplicársele si el esfuerzo cortante no debe pasar de 120 MPa. b)Cual es el valor mínimo correspondiente del esfuerzo cortante? SOLUCIÓN: a) como De donde:

b) El esfuerzo cortante mínimo lo podemos deducir del gráfico siguiente:

EJEMPLO: El eje vertical AD está unido a una base fija en D y sometido a los torques indicados. Un hueco de 44 mm de diámetro ha sido perforado en la porción CD del eje. Sabiendo que todo el eje está hecho de acero con G = 80 GPa, determine el ángulo de torsión en el extremo A. SOLUCIÓN: En el eje se diferencian tres porciones AB, BC y CD, cada una de sección uniforme y con torque interno constante, además el sistema está en equilibrio, luego: Podemos hacer un corte entre A y B, entonces: Haciendo un corte entre B y C se tiene de modo similar

No hay torque aplicado en C entonces : El ángulo de torsión en A será:

Asignatura: Física II ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Diseño de ejes de transmisión El diseño de ejes de transmisión consiste básicamente en determinar el diámetro y material más apropiados para el mismo, tomando en cuenta principalmente tres factores: - Que las deformaciones ocasionadas por torsión sean aceptables según los requerimientos del diseño. - Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los esfuerzos admitidos en el diseño, según el factor de seguridad con el que se esté trabajando. - Que diámetro del eje no exceda demasiado el tamaño necesario, pues esto influye en los costos de producción, en la geometría del diseño, en el peso muerto del sistema, etc.

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física En la figura se muestra un sistema conducido, donde un conjunto correa-polea transmiten potencia a una máquina a través de un eje. La correa, debido a la tensión a la que debe estar, ejerce una fuerza vertical (Fv) sobre la polea y a su vez sobre el eje, además de ejercer el torque para producir movimiento en la máquina. En este caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difícil determinar que la sección crítica es aquella adyacente al apoyo, en B. Note que la fuerza vertical producirá adicionalmente un momento flector sobre esta sección. Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Al trasladar las cargas a la sección transversal crítica, observaremos que sobre ella se encuentran aplicados una fuerza cortante Fv, un momento torsor T, y un momento flector M. Tenemos entonces tres posibles puntos críticos: - El punto A, donde se generan  (+) debido al momento flector y  debido al torsor; - El punto A’, donde se generan  (-) debido al momento flector y  debido al torsor; - el punto B’, donde se concentran los  debido al momento torsor y debido a la fuerza cortante. Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y física Ecuaciones empleadas en barras no circulares En algunas estructuras, podemos encontrarnos que existe un par torsor aplicado sobre una viga de sección transversal no circular. La deducción de las ecuaciones que describen la distribución de esfuerzos cortantes debido a torsión en estas barras no es sencilla. Nuestro interés radica principalmente en conocer expresiones que permitan relacionar las características geométricas de la barra y el torque ejercido sobre ella, con el esfuerzo cortante máximo que se produce y su respectiva deformación. Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a continuación algunos ejemplos.

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Sección elíptica Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Sección triangular equilátera Asignatura: Física II

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Sección cuadrada Asignatura: Física II

Resumen de ecuaciones ______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II Ley de Hooke para torsión:  : Esfuerzo cortante G: Módulo de Rigidez  : Deformación angular unitaria E: Módulo de elasticidad del material : Relación de Poisson del material

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II Esfuerzo cortante en barras de sección circular debido a momento torsor  : Esfuerzo cortante en el punto de interés de la sección transversal  : distancia medida desde el centro hasta el punto de interés J: Momento polar de inercia de la sección transversal

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II Ángulo de giro en barras circulares sometidas a momento torsor  : Ángulo de giro de una sección “B” respecto a una sección “A” T: Par torsor al que está sometido la barra circular J: Momento polar de inercia de la sección transversal G: Módulo de rigidez del material L AB : Longitud de la barra entre las secciones “A” y “B”

______________________________________________________________________________ Universidad Nacional del Santa Facultad de Ingeniería Departamento Académico de Energía y Física Asignatura: Física II Relaciones entre par torsor, potencia y velocidad angular  : velocidad angular (radianes por unidad de tiempo) T: Par torsor al que está sometido la barra circular P: Potencia m: relación de transmisión