COMPRESION Parámetro de esbeltez Diseño y cálculo por compresión Requisitos de Resistencia Parámetro de esbeltez Diseño y cálculo por compresión Pandeo Local

Curva de Euler

n = número de ciclos sinusoidales de la elástica Idealización para el Esfuerzo Crítico de Pandeo en columnas esbeltas: l = esbeltez P = EI L2 n2 p2 l2 n2p2 E s crit = n = número de ciclos sinusoidales de la elástica La columna es inicialmente recta La carga es aplicada axialmente El material es homogéneo En condiciones ideales, la columna permanecerá recta mientras la carga es gradualmente incrementada hasta alcanzar la carga crítica, donde se produce el pandeo repentino. Si la carga se continúa incrementando, la columna colapsa. Si la carga se reduce, la columna volverá a estar recta. La magnitud del pandeo es indeterminada; teóricamente, se puede alcanzar una valor de pandeo suficiente para causar, a su vez, fallo por compresión y tracción en las fibras longitudinales internas y externas de la columna Si no se cumplen todas las condiciones ideales, la columna se pandea en el momento de recibir la carga

P P P P eje y eje x L n = 1 eje x eje y 2 L eje y eje x 3 L eje x 4 L n = 4 n = 3 n = 2

Columna con apoyos Empotrado – Libre: x P M = Pa y x L P M = Pa

Columna con apoyos Empotrado – Libre: Por equilibrio: åM : Pa - M - P y = 0 M = P(a – y) = E I M(x) d2y dx2 = E I P(a – y) d2y dx2 E I P Haciendo k2 = + k2 y = k2a d2y dx2 Solución: y = A sen (kx) + B cos (kx) + a Por condiciones de borde: 1) : en x = 0, y = 0 B = - a 2) : en x = 0, y´= 0 A = 0 y = a - a cos (kx) 3) : en x = L, y = a a = a - a cos (kL) a cos kL = 0 K2 = = E I P 4L2 p2 KL = 2 p como a ≠ 0, cos kL = 0 Pcrit = EI 4L2 p2

Columna con apoyos Empotrado – Empotrado: M(x) P P M Origen en el centro y P eje y M x y L M P

åM : M – M(x) - P y = 0 M(x) = M - Py Columna con apoyos Empotrado – Empotrado: Por equilibrio: åM : M – M(x) - P y = 0 M(x) = M - Py = E I M(x) d2y dx2 = E I M - Py d2y dx2 E I P Haciendo k2 = + k2 y = d2y dx2 E I M y = A sen (kx) + B cos (kx) + P M Solución: y´= Ak cos (kx) - Bk sen (kx) Por condiciones de borde: 1) : en x = 0, y´= 0 A = 0 2) : en x = L/2, y´= 0 0 = - Bk sen (kL/2) sen (kL/2) = 0 K2 = = E I P L2 4p2 como K ≠ 0, L ≠ 0 KL 2 = p Pcrit = EI L2 4p2

Columna con apoyos Empotrado – Articulado: M(x) P F P L eje y F y P eje y FL x F y L P FL F P

åM : FL – M(x) - P y – Fx = 0 M(x) = F(L – x) - Py Columna con apoyos Empotrado – Articulado: åM : FL – M(x) - P y – Fx = 0 M(x) = F(L – x) - Py = E I M(x) d2y dx2 = E I F(L – x) - Py d2y dx2 E I P Haciendo k2 = + k2 y = d2y dx2 E I F(L – x) y = A sen (kx) + B cos (kx) + P F(L – x) y´= Ak cos (kx) - Bk sen (kx) - P F B = P FL - Por condiciones de borde: 1) : en x = 0, y= 0 A = kP F 2) : en x = 0, y´= 0 P F sen (kx) k y = [ - L cos (kx) + (L – x)] 3) : en x = L, y= 0 P F sen (kL) k 0 = [ - L cos (kL)] tan kL = kL kL ≈ 4,4 rad Pcrit = EI L2 2p2 P = EI L2 19,36

Art – Art Emp - Libre Emp - Emp Emp - Art L L L √2 L L 0,5 L 2L

Para todos los tipos de apoyos estudiados: Unificación de la fórmula de Euler para distintos tipos de apoyos: Se llamará Longitud Efectiva (Le) a la longitud que genere un ciclo (n = 1) en la elástica de la columna Le = kL P = EI L2 p2 Emp - Art Emp - Emp Emp - Libre Art – Art P = EI 4L2 P= EI 4p2 P= EI 2p2 (2L)2 P= EI (L/2)2 (L/√2)2 Le = L K = 1 Le = 2L K = 2 Le = 0,5L K = 0,5 Le = 0,71 L K = 0,71 Para todos los tipos de apoyos estudiados: Pcrit = EI Le2 p2 l = r Le l2 p2 E s crit =

Valores de K recomendados por la Norma Covenin 1618 – 98:

f P £ c Requisitos de Resistencia: u n El Método LRFD especifica que la relación entre Cargas externas y Resistencia a compresión debe ser: n u P c f £ Pu = Suma de las cargas factorizadas Pn = Resistencia nominal por compresión = AgFcr Fcr = Esfuerzo crítico de Pandeo Øc = factor de resistencia para miembros a compresión = 0,85 Relación de esbeltez efectiva (parámetro de esbeltez) Este factor λc incluye: - las propiedades del material - las dimensiones del miembro

( ) F = Fy λc F = Fy λc λc F =(0,658 ) Fy p E 1 F = Combinando λc con 2 E 1 F = F = Fy Combinando λc con cr 2 r kL ( ) cr λc 2 Considerando posibles desalineamientos iniciales: 0,877 F = Fy cr λc 2 Si la columna está en el rango de pandeo inelástico: λc 2 F =(0,658 ) Fy cr

Se considera λc = 1,5 el punto de inflexión de la curva de Euler:

=(0,658 ) Fy F λc Fy = F λc para λc ≤ 1,5: 0,877 para λc > 1,5: 2 =(0,658 ) Fy F cr λc para λc ≤ 1,5: 2 Fy = F cr λc 0,877 para λc > 1,5: Estas expresiones están basadas en estudios experimentales realizados por Galambos (1988), considerando desalineamientos iniciales de L/1500 Las normas AISC y COVENIN 1618 – 98 recomiendan que para miembros sometidos a compresión la relación de esbeltez kL/r no debe exceder en ningún caso el valor de 200. λ ≤ 200

Ejemplo 1: a) Determine la resistencia de diseño para un perfil IPN 140 SIDETUR, con longitud no arriostrada de 2,40 m y extremos articulados. Determine la resistencia del mismo perfil con: b) Extremos empotrados c) Una longitud no arriostrada de 2,70 m. y extremos art-emp. Perfil IPN SIDETUR 140: rx = 5,61 cm ry = 1,40 cm E = 2x106 kg/cm2 Fy = 2500 kg/cm2 Ag = 18,2 cm2 a) Para extremos articulados: k = 1 l = kL/ry λ = 171,43 Parámetro de esbeltez: lc = 1,88 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: Fcr = 619 kg/cm2 Pn = 11257 kg Øc Pn = 9568 kg

b) Para extremos empotrados: k = 0,65 l = kL/ry λ = 111,43 Parámetro de esbeltez: lc = 1,22 < 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: Fcr = 1336 kg/cm2 Pn = 24310 kg Øc Pn = 20.663 kg c) Para extremos articulado - empotrados: k = 0,80 l = kL/ry λ = 137,14 Parámetro de esbeltez: lc = 1,51 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: Fcr = 966 kg/cm2 Pn = 17500 kg Øc Pn = 14.876 kg

Ejemplo 2: Determine el perfil W ASTM A36 necesario para soportar una carga de compresión de 50 kps si la altura no arriostrada es 12 pies. La columna es de extremos art – emp. ¿Cuál sería el perfil adecuado si hubiera arriostramiento lateral en el eje más fuerte? Perfiles W ASTM A36: E = 30.000 kpsi Fy = 36 kpsi Fy = A Pu = 1,39 pul2 A Dimensionamiento inicial: Elegimos W 10 x 12 : Area = 3,54 pul2 rx = 3,9 pul ry = 0,785 pul Chequeamos esbeltez: Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 l = kL/ry λ = 146,75 Parámetro de esbeltez: lc = 1,62 > 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: Fcr = 12057, 44 psi Pn = 42683 lb Øc Pn = 36280 lbs < 50000 lbs El perfil elegido no sirve

A = A 50000 = 4,15 pul2 12057 Segundo dimensionamiento : Elegimos W 8 x 15 : Area = 4,44 pul2 rx = 3,29 pul ry = 0,876 pul Chequeamos esbeltez: Para extremos articulado - empotrado: k = 0,80 l = kL/ry λ = 131,51 Parámetro de esbeltez: lc = 1,45 < 1,5 Esfuerzo crítico de pandeo: Fcr = 14930, 88 psi Pn = 66.293 lb Øc Pn = 56350 lbs > 50000 lbs El perfil elegido es adecuado

PANDEO LOCAL: Para que un miembro desarrolle plenamente su resistencia al pandeo, los elementos componentes de la sección transversal deben ser lo suficientemente robustos. Si esto no se cumple, se puede producir un arrugamiento o pandeo localizado del elemento, provocando que la sección transversal no sea totalmente efectiva. En este caso, se dice que el elemento ha fallado por pandeo local. Los perfiles con alas o almas delgados son susceptibles a este tipo de falla, por lo que no son recomendables para trabajar a compresión. Dado que no siempre esto es posible, el pandeo local debe evitarse reduciendo la resistencia nominal de los miembros. El parámetro fundamental en este tipo de falla es la relación ancho/espesor de cada uno de los elementos que conforman la sección. En una sección cualquiera, podemos distinguir dos tipos de elementos: rigidizados y no rigidizados.

Criterio para la posibilidad de pandeo local: Un miembro a compresión debe estudiarse por pandeo local si cualquier elemento de su sección transversal, rigidizado o no rigidizado, es clasificado como esbelto. Para todo elemento de una sección transversal: λ = b/t ó λ = h/tw Si λ > λr (Ver Apéndice A, tabla 4.1, Norma Covenin 1618 – 98) en cualquiera de sus componentes, la sección es esbelta.

tf bf tf hw tf bf tw tf bf hw tw t t r Y X b El momento es restringido por la rigidez a la flexión (EI) del ala Tendencia al pandeo paralelo al eje Y-Y tf bf tf hw tf bf tw tf bf hw tw t b El pandeo local consiste en el arrugamiento en forma de ondulaciones, que afecta las alas o almas de columnas de sección transversal I comprimidas axialmente. Es un fenómeno de inestabilidad que se presenta con mucha frecuencia en secciones que tienen relaciones elevadas de ancho/espesor o diámetro/espesor de pared. t r

lr Pandeo Local Relación b/t baja Relación b/t alta F F CR, F y Relación b/t alta Mayoría de los perfiles laminados T, U y doble T En la figura se muestra la relación general entre el esfuerzo crítico de pandeo local Fcr (definido como la carga crítica dividida por el área de la sección transversal del elemento) y la relación ancho-espesor. Nótese que a mayor relación ancho/espesor el esfuerzo crítico de pandeo local disminuye. Existe un valor límite lambda r para la relación b/t debajo del cual el esfuerzo crítico de pandeo local es mayor que el esfuerzo de fluencia. Por lo tanto, para secciones con b/t menores a lambda r, el pandeo local no ocurre. Por otro lado si b/t es mayor que lambda r el pandeo local del miembro puede regir el diseño. En perfiles estructurales laminados W el pandeo local rara vez rige el diseño. La mayoría de los perfiles laminados tienen relaciones b/t menores que lambda r. lr b/t

Pandeo por flexotorsión Pandeo por flexión Pandeo por flexotorsión P El principal estado límite de resistencia de un miembro en compresión es el pandeo (que puede ocasionar problemas de inestabilidad). En los perfiles de acero laminado con los tipos de sección comunes en los elementos de compresión, el modo de pandeo es generalmente por flexión, aunque en algunos casos pueden regir los modos de torsión o flexo-torsión. Ya hemos discutido in extenso el fenómeno del pandeo por flexión, así es que ahora nos concentraremos en el pandeo flexotorsional. P Factores principales que influyen en el pandeo por torsión o flexotorsión: La sección tiene poca rigidez a la torsión, comparada con la rigidez a la flexión. La columna tiene una longitud relativamente pequeña, y que la sección no es simétrica alrededor de un eje.

Secciones susceptibles al pandeo por torsión o flexotorsión La figura muestra secciones en las que el pandeo por torsión o flexotorsión debe investigarse. La importancia de estudiar el fenómeno de flexotorsión en secciones abiertas, como es el caso de columnas cuya sección transversal es un ángulo, se debe al hecho de que, cuando una columna se pandea por torsión o flexotorsión, su carga crítica es menor que la que establece la fórmula de Euler, también conocida como pandeo por flexión.

Factor de reducción por pandeo local: Es posible utilizar un miembro que no cumpla con el requisito de relación ancho/espesor en alguno de los elementos de su sección transversal, pero no se permite que tenga igual carga que un miembro que sí lo cumpla. Esto significa que se debe aplicar un factor de minoración de la resistencia por pandeo local. Q (AISC) Øas (COVENIN 1618-98) Øas = 1 si λ ≤ λr (tabla 4.1) Øas = ØsØa si λ > λr (tabla 4.1) Apéndice A COVENIN 1618 - 98

= Øas(0,658 ) Fy F Fy = F λc Tensión Crítica: Øasλc Para λc ≤ 1,5: Para los miembros comprimidos normalmente cargados, el área total de la sección transversal y el radio de giro r se calcularán considerando el área real de la sección transversal. La tensión crítica Fcr se calculará con las siguientes fórmulas: 2 = Øas(0,658 ) Fy F cr Øasλc Para λc ≤ 1,5: 2 Fy = F cr λc 0,877 Para λc > 1,5: Øas = ØsØa Para secciones transversales constituidas totalmente por elementos no rigidizados: Øas = Øs ( Øa = 1 ) Para secciones transversales constituidas totalmente por elementos rigidizados: Øas = Øa ( Øs = 1 ) Para secciones transversales constituidas por elementos rigidizados y no rigidizados: Øas = ØsØa

El diseño de miembros estructurales a compresión simple se puede resumir en: Obtener el perfil de menor área posible que resista la carga última aplicada. Estos cálculos, muchas veces engorrosos, se simplifican enormemente con el uso adecuado de tablas de propiedades de perfiles estructurales, ya que todas las relaciones geométricas de estos perfiles están previamente determinadas. Con la longitud efectiva o la relación de esbeltez obtenemos directamente la resistencia de diseño del miembro n P c f