INGENIERÍA INDUSTRIAL OCTUBRE 2010 Superficies INGENIERÍA INDUSTRIAL OCTUBRE 2010

Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución. Tema Cilindros, superficies cuadráticas y superficies de revolución. Objetivo: Identificar y graficar superficies cilíndricas, cuadráticas y de revolución.

Clasificación de las superficies en el espacio: Esfera Plano Superficies cilíndricas o cilindros Superficies cuadráticas Superficies de Revolución

Esfera Una esfera con centro en (x0, y0, z0) y radio r se define como el conjunto de puntos (x,y,z) cuya distancia a (x0, y0, z0) es r. La ecuación canónica de una esfera es: (x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = r2.

Plano a x + by + cz + d = 0 (ecuación general) Un plano que contiene el punto P(x1, y1, z1) es el conjunto de todos los puntos Q(x, y, z) para los que el vector PQ es perpendicular a un vector n = (a, b, c) La ecuación de un plano en el espacio es: a (x-x1) + b (y-y1) + c (z-z1) = 0 (forma canónica) a x + by + cz + d = 0 (ecuación general)

Superficies Cilíndricas (Cilindros) El conjunto de todas las rectas paralelas que cortan a una curva C se llama cilindro de curva directriz C. Cada una de esas rectas paralelas se llama una recta generatriz del cilindro. Si la generatriz es perpendicular al plano que contiene la directriz, se dice que es un cilindro recto. Cilindro Circular Recto x2 + y2 = 4

Cilindros (cont.) La ecuación de un cilindro cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes de coordenadas contiene solo las variables correspondientes a los otros dos ejes.

Superficies cuadráticas Su ecuación es de la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz+ + Gx + Hy + Iz + J = 0 Existen 6 tipos: Elipsoide Hiperboloide de una hoja Hiperboloide de dos hojas Cono elíptico Paraboloide elíptico Paraboloide hiperbólico

Elipsoide Trazas xy: Elipse xz: Elipse yz: Elipse

Hiperboloide de una hoja Trazas xy: Elipse xz: Hipérbola yz: Hipérbola

Hiperboloide de dos hojas Trazas xy: Hipérbola xz: Hipérbola yz: (x=0) No existe (|x|>0) Elipse

Cono Elíptico Trazas xy: (z=0) Punto (|z|>0) Elipse xz: (y=0) Rectas (|y|>0) Hipérbola yz: (x=0) Rectas (|x|>0) Hipérbola

Paraboloide Elíptico Trazas xy: (z=0) Punto (z>0) Elipse xz: Parábola yz: Parábola

Paraboloide Hiperbólico Trazas xy: (z=0) Recta (|z|>0) Hipérbola xz: Parábola yz: Parábola

Superficies de Revolución Si la gráfica de una función con radio r gira en torno a uno de los ejes de coordenadas, la ecuación de la superficie resultante tiene una de las siguientes formas: 1. En torno al eje x: y2 + z2 = [r(x)]2 2. En torno al eje y: x2 + z2 = [r(y)]2 3. En torno al eje z: x2 + y2 = [r(z)]2

Ejemplo de Superficies de Revolución Al girar la gráfica de la función f(x) = x2+1 en torno al eje x se genera la gráfica de la función y2 + z2 = (x2 + 1)2. radio

Resumes de superficies

Conos: El cono es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfascen una relación de la forma x2 y2 z2 a2 b2 c2 + = 0, = 0 y x z Cono Elíptico

Paraboloide Eliptico El Paraboloide elíptico es el lugar geometrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x2 y2 x2 z2 y2 z2 + = c2 z , + = b2 y , + = a2 x a2 b2 a2 c2 b2 c2 y x z

La ecuación general del Paraboloide elíptico en el espacio tiene la forma: ( x – h )2 ( y – k )2 + = c2 ( z – j ) a2 b2 Si a = b , se tiene un paraboloide de revolución, que se obtiene haciendo girar la traza xz alrededor del eje z.

Paraboloide Hiperbólico El Paraboloide Hiperbólico es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma. x2 y2 x2 z2 y2 z2 - = c2 z , - = b2 y , - = a2 x a2 b2 a2 c2 b2 c2 x y z

La ecuación general del Paraboloide Hiperbólico en el espacio tiene la forma ( x – h )2 ( y – k )2 - = c2 ( z – j ) a2 b2

Hiperboloide de una Hoja El Hiperboloide de una Hoja es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 + - = 1, - + = 1, - + + = 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 x y z

La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2 + - = 1 a2 b2 c2 Si a = b se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. ( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2 - + = 1 a2 b2 c2

- - = 1 Hiperboloide de dos Hojas La ecuación general del Hiperboloide de una Hoja en el espacio es ( x – h )2 ( y – k )2 ( z – j ) 2 - - = 1 a2 b2 c2 Si b = c se tiene una superficie de revolución, haciendo girar la traza xz alrededor del eje z. x y z

El Hiperboloide de dos Hojas es el lugar geométrico de todos los puntos que satisfacen una relación de la forma x2 y2 z2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 - - = 1, - + - = 1, - - + = 1 a2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2

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