LOGICA

Proposición Expresión de la que tiene sentido decir si es verdadera o falsa Una proposición es una sentencia (oración) correctamente formada que puede ser verdadera o falsa Es una sentencia declarativa. Representa un hecho de la realidad. Es una oración del lenguaje que consta de un sujeto y un predicado, tiene un valor afirmativo. Las oraciones interrogativas, exclamativas, imperativas, no afirman nada y no pueden ser considerados enunciados.

Ejemplos 1 + 4 = 5 (Verdad) La Pampa es una nación. (Falso) 8 + 23 (no es proposición) María (ídem anterior) Analiza si son o no proposiciones Luís y Marta van de pesca. Luis llamó a Marta para salir. El autobús pasa a las seis Mañana lloverá. ¡siéntate! ¿cuándo sale el autobús? ¿fueron a pescar Luis y Marta finalmente?

Proposición Atómica Una proposición es simple o atómica si no puede ser descompuesta en proposiciones más simples. Las proposiciones simples o atómicas son indicadas de manera afirmativa. Ejemplos: La casa es grande. (es atómica) La casa no es grande. ( no es atómica) Hoy es viernes y tenemos clase. (no es atómica)

Proposición Molecular Una proposición es compuesta o molecular si no es atómica, es decir, si puede ser descompuesta en proposiciones más simples. Una proposición compuesta o molecular se forma al unir proposiciones atómicas utilizando conectivos lógicos o términos de enlace.

Proposiciones Moleculares Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie. No es cierto que Juan llegó temprano Juan no llegó temprano Luis es arquitecto y Martín es médico. La medalla no es de plata y el diploma parece falso. Matías aprobó pero Lucas no.

Simbolización Se utilizarán letras minúsculas para simbolizar las proposiciones atómicas. Ejemplo: El Sr.Domínguez es el gerente. Si se considera p = “El Sr.Domínguez es el gerente” esta proposición puede ser simbolizada como p.

Simbolización Para simbolizar un proposición Identificar las proposiciones simples o atómicas Simbolizar las proposiciones simples o atómicas encontradas. Utilizar los conectivos lógicos para relacionarlas.

Simbolización Ejemplos Vamos en bicicleta o vamos a pie. p : “Vamos en bicicleta”. q : “Vamos a pie” Simbolización: p v q No es cierto que Juan llegó temprano p = “Juan llegó temprano”. Simbolización :  p

Simbolización Ejemplo La medalla no es de plata y el diploma parece falso. p : “La medalla es de plata”. q : “El diploma parece falso” Simbolización: p ^ q

Simbolización Ejemplo Matías aprobó el examen pero Lucas no. r = “Matías aprobó el examen”. s = “Lucas aprobó el examen” Simbolización : r ^  s

La formalización es el proceso en el que se traducen proposiciones del lenguaje cotidiano al lenguaje formal o simbólico. Expresa las siguientes proposiciones usando p, q y los conectivos. Sean p: “La temperatura está sobre los 17°C” q: “ Llueve” La temperatura está sobre los 17°C pero llueve. Ni la temperatura supera los 17°C ni llueve. No es cierto que llueva con la temperatura superior a los 17°C. Llueve cuando la temperatura está sobre los 17°C. Que la temperatura esté sobre los 17°C es suficiente para que no llueva. O bien llueve o bien la temperatura es superior a 17°C.

Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposición molecular muestra todas las posibles combinaciones de valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen.



Negación Indique el valor de verdad de: El número 9 no es divisible por 3. No es cierto que los perros vuelan.  p

Conjunción Indique el valor de verdad de : 6 es un número par y divisible por 3. ( 2 + 5 = 7 ) y ( 2 * 3 = 9 )

Disyunción Indique el valor de verdad de : 2 es primo o es impar.

Construcción de tablas de verdad ¿Cuántas filas tiene la tabla? 1 proposición  2 valores (V o F) 2 proposiciones  4 valores de verdad 3 proposiciones  8 valores de verdad ......... n proposiciones  2n valores de verdad.

Ejemplos Construir las tablas de verdad de las siguientes proposiciones p ^ q ( p v q ) ^ p (p ^ r ) v ( p ^ q)    

Ejercicio Sabiendo que p y q son proposiciones verdaderas y que r y s son proposiciones falsas, determinar el valor de verdad de las proposiciones moleculares siguientes: (p ^ q ) v (r ^ p ) v s (q v p) ^  (r v  s ) v ( q ^  r )

Ejercicio Sabiendo que (p v q ) ^ ( p ^ s) es verdadera indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen 

Ejercicio Sabiendo que ( p ^ q ) v ( p v q ) es falsa indicar, de ser posible, el valor de verdad de las proposiciones atómicas que la componen   

Proposiciones moleculares Según su valor de verdad pueden ser Tautología Contradicción Contingencia

Tautología Una proposición compuesta o molecular es una tautología si es cierta, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Ejemplo: p v p 

Contradicción Una proposición compuesta o molecular es una contradicción si es falsa, cualesquiera sean los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen. Ejemplo: p ^ p 

Contingencia Se dice que una proposición compuesta o molecular es una contingencia si al construir la tabla de verdad el resultado final que se obtiene, es una combinación valores de verdad verdaderos y falsos. Ejemplo: p ^ q

Ejercicios ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? Formaliza las siguientes proposiciones: No es cierto que no me guste bailar Me gusta bailar y leer libros de ciencia-ficción. Si los gatos de mi hermana no soltaran tanto pelo me gustaría acariciarlos. Si y sólo si viera un marciano con mis propios ojos, creería que hay vida extraterrestre. Una de dos: o salgo a dar un paseo, o me pongo a estudiar como un energúmeno. Si los elefantes volaran o supieran tocar el acordeón, pensaría que estoy como una regadera y dejaría que me internaran en un psiquiátrico. Prefiero ir de vacaciones o estar sin hacer nada si tengo tiempo para ello y no tengo que ir a trabajar. ¿Cuáles de estas proposiciones es una tautología? ¿Puedes construir una contradicción a partir de alguna de ellas? ¿Cuál?

Equivalencia Lógica Se dice que dos formulas lógicas son equivalentes si poseen los mismos valores de verdad (para los mismos valores de verdad de sus variables) Ejemplo:  (p  q)   p   q

Ejemplo:  (p  q)   p   q p q p v q  (p  q) p q V F V F  p  q

Leyes de De Morgan La negación de una disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.  (p  q)   p   q La negación de una conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones de las proposiciones involucradas.  (p  q)   p   q

Proposición condicional Dadas dos proposiciones p y q, la proposición "si p entonces q" se llama proposición condicional y se escribe p q donde p es llamada antecedente o hipótesis, y q consecuente o tesis.

Proposición condicional Ejemplo: Si resolvemos las guías de trabajos prácticos entonces aprenderemos matemática p = "resolvemos las guías de trabajos prácticos " q = "aprenderemos matemática" Simbolizando: p  q

Proposición condicional Ejemplo: Si vamos a la fiesta entonces no nos acostaremos temprano p = "vamos a la fiesta" q = "nos acostaremos temprano" Simbolizando: p   q

Tabla de verdad del condicional p q p  q V F La implicación de p a q es falsa únicamente en el caso de que el antecedente p sea verdadero y que el consecuente q sea falso

Proposición Condicional Existen distintas formas de leer un condicional: “Si p entonces q”. “q es una condición necesaria para p” “p es una condición suficiente para q”.

Distintas formas de indicar una proposición condicional Ejemplo: p : El entero x es múltiplo de 4 q : El entero x es par Si el entero x es múltiplo de 4, entonces es par Que el entero x sea múltiplo de 4 es suficiente para que sea par Que el entero x sea par es necesario para que sea múltiplo de 4.

Proposición condicional La contra positiva de la proposición condicional p  q es la proposición  q   p Muestre la equivalencia lógica: p  q   q   p

Proposición bicondicional q p  q V F Observando la tabla notamos que el bicondicional distingue si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad, o valores de verdad distintos.

p  q  (p q) ^ (q  p) p q p  q q p (p  q) ^ (q p) V F

2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que 1) Halla los valores de verdad de las proposiciones si sabes que p  q es falsa. a)  p  q b) q  p c) p   p d)  p  q Piensa un rato y justifica tus respuestas 2) Halla los valores de verdad de p, q, r, s, t para que ( p  q )  r  ( s  t ) sea falsa 3) Construye una tabla de verdad para cada una de las proposiciones a) ( p   q )  q b) ( p  q )  ( p  q ) c) q  ( p   q)