ANÁLISIS DE ESTABILIDAD Unidad académica: Ingenierías Facultad: Ingeniería Electrónica Profesor: Marisol Osorio E – mail: marisol.osorio@upb.edu.co ANÁLISIS DE ESTABILIDAD DEFINICIONES Un sistema es estable en general si su salida y sus estados internos permanecen acotados ante una entrada determinada. La estabilidad absoluta de un sistema determina si el sistema es estable o no, en tanto la estabilidad relativa se refiere a la cuestión de qué tan estable es, por medio de una medida de su grado de estabilidad.

DEFINICIONES La respuesta de estado cero se debe a la entrada del sistema, considerando cero las condiciones iniciales del sistema. Es asimilable a la respuesta forzada. La respuesta de entrada cero se debe únicamente a las condiciones iniciales del sistema, cuando sus entradas son cero. Es asimilable a la respuesta natural.

DEFINICIONES Cuando un sistema está sujeto tanto a las entradas como a las condiciones iniciales, la respuesta total del sistema es: y(t)= respuesta de estado cero + respuesta de entrada cero

DEFINICIONES La estabilidad a entrada cero se define cuando el sistema está sujeto únicamente a sus condiciones iniciales. Se evalúa con la respuesta de entrada cero así: Un sistema es estable a entrada cero si la respuesta a entrada cero, sujeta a condiciones iniciales finitas alcanza cero cuando el tiempo tiende a infinito. De otra manera, es inestable.

CONDICIONES DE ESTABILIDAD Matemáticamente, un sistema lineal e invariante en el tiempo es estable a entrada cero si siempre puede encontrarse un número positivo M, tal que:

CONDICIONES DE ESTABILIDAD Por (2), la estabilidad de entrada cero se conoce también como estabilidad asintótica. Si y(t) es la respuesta de entrada cero, es posible escribir una serie para esta función de la forma:

CONDICIONES DE ESTABILIDAD Es posible escribir para la respuesta de entrada cero:

CONDICIONES DE ESTABILIDAD La respuesta del sistema puede escribirse como una serie exponencial así:

CONDICIONES DE ESTABILIDAD Entonces para que se cumpla la condición (1) es necesario que las partes reales de si sean negativas, o sea, que todas las raíces de la ecuación característica deben localizarse en el semiplano izquierdo del plano s.

ESTABILIDAD DE SISTEMAS TÉCNICA DE ROUTH-HURWITZ ESTABILIDAD DE SISTEMAS Como se ha demostrado, un criterio válido de análisis de estabilidad, es asegurar que todos los polos del sistema se encuentren en el semiplano izquierdo del plano s. Existe un método que permite verificar si todas las raíces de un sistema se encuentran en este semiplano sin necesidad de hallar las raíces. Se conoce como el método de Routh-Hurwitz.

TÉCNICA DE ROUTH-HURWITZ La ecuación característica de una matriz cuadrada A se puede escribir así: Las raíces de esta ecuación son los valores propios de A. Se puede comprobar [1] que para que las partes reales de estos valores propios sean todas negativas debe cumplirse:

TEOREMA DE ROUTH-HURWITZ Determinantes de Hurwitz

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE ROUTH-HURWITZ A puede ser la matriz de estados de un sistema lineal, y en este caso, su ecuación característica corresponde al polinomio del denominador de su función de transferencia, y los valores propios de A son los mismos polos del sistema.

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE ROUTH-HURWITZ Entonces los determinantes de Hurwitz para una ecuación de orden n: pueden organizarse con la tabulación de Routh así:

APLICACIÓN DEL TEOREMA DE ROUTH-HURWITZ

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ Los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh son funciones de los determinantes de Hurwitz, de manera que si alguno de los elementos de la primera columna es negativo, es porque alguno de los determinantes lo es. Esto, como ya vimos, implica que el sistema es inestable.

CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ O sea que: “Las raíces de la ecuación [característica de un sistema] están todas en el semiplano izquierdo del plano s si todos los elementos de la primera columna de la tabulación de Routh son del mismo signo. El número de cambios de signo en estos elementos es igual al número de raíces con valores reales positivos”.

USO DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ El criterio de Routh Hurwitz es útil en la actualidad para el estudio de la estabilidad de sistemas que tienen parámetros variables, o para el diseño de sistemas de control.

CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ La tabulación de Routh puede terminar prematuramente en los siguientes casos: El primer elemento en cualquiera de los renglones de la tabulación de Routh es cero, sin que los otros lo sean. Todos los elementos de un renglón de la tabulación son cero.

CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ En el primer caso, basta con definir un elemento muy pequeño que no cambia de signo con respecto al anterior (ε) y reemplazar el cero por este elemento. Luego se continúa la tabulación normalmente y se concluye sobre la estabilidad usando el criterio de Routh Hurwitz.

CASOS ESPECIALES DEL CRITERIO DE ROUTH-HURWITZ En el segundo caso, es necesario recurrir a lo que se conoce como la ecuación auxiliar, que se construye con los coeficientes del renglón inmediatamente anterior al que es cero, usando potencias decrecientes pares de s. Esta ecuación debe derivarse y los coeficientes del nuevo polinomio así obtenido se colocan en lugar del renglón que se hizo cero. La razón para esto es que “las raíces de la ecuación auxiliar también son satisfacen la ecuación original”.

FUENTES www.sciencedirect.com Linear algebra and its applications vol.372 (2003) p.105 a 110.