Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

Apuntes Matemáticas 2º ESO Angel Prieto Benito U. D. 11.3 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES CÚBICAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. Ver dinámica en www.apbweb.es

FUNCIÓN CÚBICA Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así: f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”. La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio. Y como toda función polinómica, el dominio es R. Dom f(x) = R Además, en estas funciones también su recorrido es R. Img f(x) = R En las funciones cúbicas vemos que nunca puede haber simetría PAR En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CÚBICA y Sea y = x3 Tabla de valores x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -27 -8 -1 0 1 8 27 Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”. En este caso concreto: Dom f(x) = Img f(x) = R Tiene simetría impar: x3 = – (– x)3 El punto de corte es el O(0,0) Es creciente siempre.. No presenta puntos Máximos ni Mínimos. 27 8 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -8 -27 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CORTES CON LOS EJES CORTES CON EL EJE Y Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Cortará al eje de ordenadas, Y: En x=0 Luego: y = a.03 + b.02 + c.0 + d = d El punto de corte será: Pc = (0, d) CORTES CON EL EJE X Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Cortará al eje de las x cuando y=0 Luego: 0=a.x3 + b.x2 + c.x + d  Ecuación de tercer grado. Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán los puntos de corte de la función con el eje de las x. Al menos habrá una raíz real, y por tanto un punto de corte. Cortes: Pc = (x1, 0), Pc = (x2, 0), Pc = (x3, 0) Y X Pc Pc Pc Pc @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

EJEMPLO DE FUNCIÓN CÚBICA f(x) = x3 –3x + 2 f(0) = 2  Pc(0,2) 0 = x3 –3x + 2 Factorizando por Ruffini: f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) Pc(– 2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0) NO es función IMPAR, pues: f(x) <> – f(– x) x3 –3x + 2 <> – [ (– x)3 –3(– x) + 2] x3 –3x + 2 <> x3 –3x – 2 Algunos puntos más de la gráfica: x – 3 – 1 2 3 y=f(x) – 16 4 4 20 Presenta un Mínimo relativo en el (1, 0) Presenta un Máximo relativo entre el – 2 y el 0 Pc(0,2) Pc(–2,0) Pc(1,0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

EJEMPLOS DE FUNCIÓN CÚBICA f(x) = – x3 + 4x f(0) = 0  Pc(0,0) 0 = – x3 + 4x Factorizando por Ruffini: f(x) = – x (x + 2)(x – 2) Pc(0,0) , Pc(– 2, 0), Pc(2, 0) Es una función IMPAR, pues: f(x) = – f(– x) – x3 + 4x = – [– (– x)3 + 4(– x)] – x3 + 4x = – x3 + 4x Algunos puntos más de la gráfica: x – 3 – 1 1 3 y=f(x) 15 – 3 3 –15 Pc(–2,0) Pc(0,0) Pc(–2,0) Presenta un Mínimo relativo próximo al (– 1 ,– 3). Presenta un Máximo relativo próximo al (1 , 3). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CRECIMIENTO Y CONCAVIDAD Max En las funciones cuadráticas: f(x) = a.x2 + b.x + c Si a > 0 la función era cóncava. El vértice era un mínimo relativo. Si a < 0 la función era convexa. El vértice era un máximo relativo. En las funciones cúbicas: f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Si a > 0 la función es convexa y después pasa a ser cóncava. Crecerá hasta el Punto Máx. y luego decrecerá hasta el Punto Mín. El punto en el cual cambia de curvatura se llama PUNTO DE INFLEXIÓN. Pc=PI Pc Pc=Min EJEMPLO 1 f(x) = x3 –3x + 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.

CRECIMIENTO Y CONCAVIDAD En las funciones cúbicas: f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d Si a < 0 la función es cóncava y después pasa a ser convexa. Decrecerá hasta el Punto Mín. y luego crecerá hasta el Punto Máx. El punto en el cual cambia de curvatura se llama PUNTO DE INFLEXIÓN. Para determinar con exactitud los máximos y mínimos relativos, así como el punto de inflexión, se emplean derivadas, herramienta que se ve en Bachillerato. EJEMPLO 2 f(x) = - x3 + 4x Max Pc Pc=PI Pc Min @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP.