1 Ecuación vectorial de la recta

2 Ecuaciones de la recta Para determinar una recta r necesitamos: Un punto de la recta y una dirección Dos puntos de la recta A v r r A B

3 Ecuación vectorial de la recta X(x,y) A(a 1,a 2 ) r Vamos a determinar la ecuación de una recta r que pasa por el punto A y tiene por dirección v (vector director de la recta) Sea A el punto de coordenadas A(a 1,a 2 ) y v un vector de componentes (v 1,v 2 ) Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta ECUACIÓN VECTORIAL DE LA RECTA Sea X(x,y) un punto genérico de la recta O

4 Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a 1,a 2 ) y cuyo vector direccional es v=(v 1,v 2 ) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Despejando el parámetro e igualando: ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Si llamamos: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

5 Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1) Dada la ecuación vectorial de la recta r: Multiplicando por el escalar: Sumando: Igualando componentes: ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA Despejando el parámetro e igualando: ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: Tenemos: ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

6 Ecuaciones de la recta Ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A(a 1,a 2 ) y cuyo vector direccional es v=(v 1,v 2 ) Ecuación vectorial : Como Ecuaciones paramétricas : Ecuación contínua : Ecuación general, cartesiana o implícita :

7 Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos. Ecuación de r que pasa por los puntos A(a 1,a 2 ) y B(b 1,b 2 ) Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r: ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS Su vector director puede ser A(a 1,a 2 ) B(b 1,b 2 ) r A(a 1,a 2 )B(b 1,b 2 ) P(x,y)

8 CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS r s vrvr vsvs Si dos rectas r y s son paralelas, también lo son sus vectores directores: Sean v r y v s los vectores directores de dos rectas r y s paralelas. (Sus componentes serán proporcionales)

9 r s vrvr vsvs Sean dos rectas r y s dadas de diferentes formas: CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS Serán paralelas si: ECUACIÓNECUACIÓN vectorial paramé- tricas contínua general Coincidirán si se cumple:

10 Producto escalar de dos vectores(1) Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número real que resulta: Producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR (El módulo del vector nulo es 0). El producto del vector nulo por otro cualquiera es 0 Si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es cero. (cos 90º=0) Si el producto escalar de dos vectores no nulos es cero, son perpendiculares Propiedad conmutativa 5. Propiedad “asociativa” 6. Propiedad distributiva R

11 Coseno del ángulo de dos vectores En una base ortonormal o canónica : Expresión del coseno del ángulo que forman dos vectores si la base es ortonormal. Si dos vectores son perpendiculares : A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y viceversa: a(-b)+ba=0

12 Ángulo que forman dos rectas. Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del ángulo que forman sus vectores direccionales r s vrvr vsvs Valor absoluto de un número real Módulo de un vector Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman) Posición relativa de dos rectas. Secantes Paralelas no coincidentes Coincidentes Dos rectas en el plano pueden ser:

13 Ecuación explícita de una recta. Pendiente de una recta Si en la ecuación general de la recta r, despejamos y: r Si llamamos: La ecuación explícita de la recta será: m nos indica la pendiente de la recta y n la ordenada en el origen (Para x=0, y=n) A -B α m 1 m 1 m 1 n

14 Ecuación punto-pendiente. Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares. Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida su pendiente m y un punto P(x 0,y 0 ) perteneciente a ella: y = m x + n Falta determinar n ( m ya lo conocemos) Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente: y 0 = m x 0 + n La recta debe pasar por P(x 0,y 0 ) Restando ambas expresiones: y - y 0 = m (x - x 0 ) Para hallar la pendiente de una recta conocidos dos de sus puntos: P 1 (x 1,y 1 ) P 2 (x 2,y 2 ) x 2 -x 1 y 2 -y 1

15 Condición de paralelismo y perpendicularidad entre rectas Vector direccional Serán paralelas si: Serán perpendiculares si: ECUACIÓNECUACIÓN r y=mx+n sy=m’x+n’ r Ax+By+C=0 s A’x+B’y+C’=0 y=mx+nmx-y+n=0 Dada la ecuación de una recta r: Relación entre las pendientes de dos rectas perpendiculares

16 Rectas paralelas Dos rectas son paralelas si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

17 Rectas perpendiculares Si dos rectas son perpendiculares tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo. Dos rectas son perpendiculares si sus vectores son directores son perpendiculares