Vectores

VECTORES

Vector Un vector V, se representa como un segmento dirigido con origen o punto de aplicación en A y extremo o punto terminal en B. Se representa por AB, siendo los extremos A y B Los puntos en los que empieza y termina un vector se llaman origen y extremo, respectivamente. Dada una dirección, el sentido del vector es el indicado por la flecha en la que termina AB A (origen) B (extremo) A (extremo) B (origen) BA

CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR Las características de un vector son cuatro: MÓDULO DIRECCIÓN SENTIDO PUNTO DE APLICACIÓN

MÓDULO El MÓDULO viene dado por la longitud de la flecha. El módulo está determinado por un vector unidad u. 3 cm

DIRECCIÓN La DIRECCIÓN es la recta que lo contiene. Viene expresada por el ángulo que forma la recta con la horizontal: 0º (horizontal), 30º, 47º, 90º (vertical), 130º, 249º, etc. 45º 120º - 100º = 260º - 30º = 330º

SENTIDO El SENTIDO indica hacia dónde va dirigido el vector. En una misma dirección existen dos sentidos posibles. Sentido hacia arriba, hacia la derecha o ascendente 45º Sentido hacia abajo, hacia la izquierda o descendente

FLuna, Tierra = FTierra, Luna PUNTO DE APLICACIÓN El PUNTO DE APLICACIÓN es el punto del espacio en que se aplica la fuerza. Esto es importante, pues los efectos que producen las fuerzas dependen en muchos casos del punto de aplicación. FLuna, Tierra = FTierra, Luna Ambas fuerzas tienen el mismo módulo, pero difieren en su PUNTO DE APLICACIÓN.

(método del triángulo) Suma de vectores (método del triángulo) A B A B R R = A+ B

(método del paralelogramo) Suma de vectores (método del paralelogramo) A B A B R R = A+ B B A

Vectores Suma de Vectores: A B Paralelogramo. Si deseamos sumar dos vectores, una vez dibujados coincidiendo con el origen, por el extremo de cada vector trazamos una paralela al otro. Ambas paralelas se cortan en un punto. El vector cuyo punto de aplicación coincide con el de los vectores sumandos y cuyo extremo es el que termina en el punto de corte de las paralelas es el vector suma A B

Suma de vectores (método del polígono) Dados : A A B B C C D Hallar: A + B + C + D B A C D R = A + B+ C+ D

Vectores Suma de Vectores: Polígono. Se emplea, sobre todo, cuando se desean sumar varios vectores a la vez. En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el punto de aplicación del tercero y así hasta terminar de dibujar todos los vectores. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último

Analíticamente, se suman las componentes. Vectores Suma de Vectores: Analíticamente, se suman las componentes. A = (0, 5) B = (5, 4) A + B = (0,5) + (5,4) = (0 + 5, 5 + 4) = (5, 9)

Vectores Resta de Vectores: La resta se realiza en forma análoga a la suma

Vectores Resta de Vectores: Aritméticamente restamos las componentes verticales y horizontales entre sí. A = (7, 2) B = (5, 4) A - B = (7, 2) - (5, 4) = (7 - 5, 2 - 4) = (2, - 2)

Vectores Propiedades de la suma de Vectores: Conmutativa a + b = b + a Asociativa (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro o vector 0 a + 0 = 0 + a = a Elemento simétrico u opuesto a' a + a' = a' + a = 0 a' = -a

(-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13 Vectores Producto de Vectores: El producto escalar de dos vectores no es otro vector sino un número. Se determina multiplicando las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando los resultados. Por ejemplo: (-3,2) x (5,1) = ((-3) x5) +(2x1) = -15+2 = -13 Propiedades de la suma de Vectores: Conmutativa A * b = b * a Asociativa (a + b) * c = a * (b + c)

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR Ax Cos ө = A A Ay Ay ө Ax Ay Sen ө = A

SUMA DE VECTORES POR COMPONENTES RECTANGULARES B = 5 u ∑ Vx = Ax + Bx By A = 3 u ∑ Vx = (2.58 u)+ (-3.21 u) Ay 50º 30º ∑ Vx = - 0.63 Bx Ax ∑ Vy = Ay + By ∑ Vy = (1.5 u) + (3.83 u) ∑ Vy = 5.33 u Ax = A Cos 30º = (3 u)(0.86) = 2.58 u R2 = (∑ Vx)2 + (∑ Vy)2 Ay = A Sen 30º = (3 u)(0.5) = 1.5 u Bx = -B Cos 50º = (5 u)(0.64) = - 3.21 u R2 = (-0.63)2 + (5.33)2 = (5 u)(0.76) By = B Sen 50º = 3.83 u R2 = 0.39 + 28.4 R2 = 28.79 R = 5.36

7u 6u 45º 40º 30º 5u

DESCOMPOSICIÓN DE FUERZAS En Matemáticas podemos también identificar vectores, componerlos y descomponerlos usando coordenadas cartesianas: y 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x Para componer dos vectores a partir de sus cordenadas cartesianas: y 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 x