Derivada de un producto DOCTORANDO: DANIEL SAENZ CONTRERAS

Sean 𝑓(𝑥) , 𝑈(𝑥) 𝑦 𝑉(𝑥) funciones continuas y derivables, la derivada de la función producto 𝑓(𝑥) =𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 viene dada por la expresión 𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / 𝑥 𝑉 𝑥 +𝑈(𝑥) 𝑉 / (𝑥)

Demostración Sabemos que la derivada de una función f(x) es igual al limite de la función incrementada, cuando el incremento tienda a cero, es decir 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥) ∆𝑥 Siempre que el limite exista.

Como la función 𝑓(𝑥) es un a función producto ,𝑓 𝑥 =𝑈 𝑥 𝑉(𝑥), se tiene que 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥+∆𝑥)−𝑈 𝑥 𝑉(𝑥) ∆𝑥 Siempre que el limite exista.

𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 +0 ∆𝑥 Sumando cero al numerador 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 +0 ∆𝑥 Expresando el cero como la diferencia 0=𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 +𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 ∆𝑥

𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 +𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 − 𝑥 ∆𝑥 Reagrupando términos 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 + 𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑈 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 ∆𝑥 factorizando 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 +𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 − 𝑥 ∆𝑥

𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / (𝑥)𝑉 𝑥 +𝑈(𝑥) 𝑉 / (𝑥) Por propiedades de los limites 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 ∆𝑥 + lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 − 𝑥 ∆𝑥 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 ∆𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑉 𝑥+∆𝑥 + lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥 lim ∆𝑥→0 𝑉 𝑥+∆𝑥 − 𝑥 ∆𝑥 𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / (𝑥)𝑉 𝑥 +𝑈(𝑥) 𝑉 / (𝑥)

En la practica, se acostumbra a escribir la derivada como 𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / ∗𝑉+ 𝑉 / ∗𝑈

Cuando se va a determinar la derivada de un producto Se llama un factor U y se le determina su derivada Se llama al factor V y se le determina su derivada Se reemplazan en la expresión de la derivada, se realizan operaciones y se simplifica la expresión 𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / ∗𝑉+ 𝑉 / ∗𝑈

DERIVADA DE UN COCIENTE Sean f , U y V tres funciones continuas cuyas primeras derivadas existen. Sea f la función definida por 𝑓(𝑥)= 𝑈(𝑥) 𝑉(𝑥) La derivada de la función f viene dada por 𝑓 / 𝑥 = 𝑈 / 𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈(𝑥) 𝑉 / (𝑥) 𝑉(𝑥) 2

Por definición de derivada, tenemos 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥+∆𝑥) − 𝑈(𝑥) 𝑉(𝑥) ∆𝑥 Por propiedades de los fracciones 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥+∆𝑥) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥)

Sumando cero al numerador 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 +0 ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) Expresamos el cero como la diferencia 0=𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥)

Sumando cero al numerador 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 +𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) Agrupando términos 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 − 𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥 ) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥)

factorizando 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉 𝑥+∆𝑥 +𝑈 𝑥 𝑉 𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) Agrupando términos 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥)−𝑈(𝑥) 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑉(𝑥 ) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥)

Por propiedades de las fracciones 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 𝑉(𝑥) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) − 𝑈(𝑥) 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑉(𝑥 ) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) simplificando 𝑓 / 𝑥 = lim ∆𝑥→0 𝑈 𝑥+∆𝑥 −𝑈 𝑥 ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 − 𝑈(𝑥) 𝑉 𝑥+∆𝑥 −𝑉(𝑥 ) ∆𝑥∗𝑉 𝑥+∆𝑥 𝑉(𝑥) 𝒇 / 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 ∆𝒙→𝟎 𝑼 𝒙+∆𝒙 −𝑼 𝒙 ∆𝒙 𝟏 𝑽 𝒙+∆𝒙 − 𝑼(𝒙) 𝑽 𝒙+∆𝒙 𝑽(𝒙) 𝑽 𝒙+∆𝒙 −𝑽(𝒙 ) ∆𝒙

Por propiedades de las limites 𝒇 / 𝒙 = lim ∆𝒙→𝟎 𝑼 𝒙+∆𝒙 −𝑼 𝒙 ∆𝒙 lim ∆𝒙→𝟎 𝟏 𝑽(𝒙+∆𝒙) − lim ∆𝒙→𝟎 𝑼(𝒙) 𝑽 𝒙+∆𝒙 𝑽(𝒙) lim ∆𝒙→𝟎 𝑽 𝒙+∆𝒙 −𝑽 𝒙 ∆𝒙 Evaluando los limites se tiene 𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / 𝒙 𝟏 𝑽(𝒙) − 𝑼 𝒙 𝑽 𝒙 𝑽 𝒙 𝑽 / (𝒙)

𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / 𝒙 𝑽(𝒙) − 𝑼 𝒙 𝑽 / (𝒙) 𝑽 𝟐 𝒙 Realizando operaciones 𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / 𝒙 𝑽 𝒙 −𝑼 𝒙 𝑽 / (𝒙) 𝑽 𝟐 𝒙

Lo que se trabaja normalmente como 𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / ∗𝑽−𝑼∗ 𝑽 / 𝑽 𝟐 Al encontrar la derivada de un cociente Al numerador se llama 𝑼 Al denominador se llama 𝑽

Por ejemplo 𝑈 / =4𝑥+4 𝑈=2 𝑥 2 +4𝑥 𝑉 / =6𝑥+2 𝑉=3 𝑥 2 +2 Encuentre la derivada de 𝑓 𝑥 = 2 𝑥 2 +4𝑥 3 𝑥 2 +2𝑥 llamamos 𝑈=2 𝑥 2 +4𝑥 𝑈 / =4𝑥+4 𝑉=3 𝑥 2 +2 𝑉 / =6𝑥+2

Por ejemplo Reemplazamos en 𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / ∗𝑽−𝑼∗ 𝑽 / 𝑽 𝟐 𝒇 / 𝒙 = 𝑼 / ∗𝑽−𝑼∗ 𝑽 / 𝑽 𝟐 𝒇 / 𝒙 = 𝟒𝒙+𝟒 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐 −(𝟔𝒙+𝟐)(𝟐 𝒙 𝟐 +𝟒𝒙) 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐 𝟐

Por ejemplo 𝒇 / 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒙 𝟑 +𝟖𝒙+𝟏𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖 − 𝟏𝟐 𝒙 𝟑 +𝟐𝟒 𝒙 𝟐 +𝟒 𝒙 𝟐 +𝟖𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐 𝟐 𝒇 / 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒙 𝟑 +𝟖𝒙+𝟏𝟐 𝒙 𝟐 +𝟖−𝟏𝟐 𝒙 𝟑 −𝟐𝟖 𝒙 𝟐 −𝟖𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐 𝟐 𝒇 / 𝒙 = 𝟖−𝟏𝟔 𝒙 𝟐 𝟑 𝒙 𝟐 +𝟐 𝟐