CAPÍTULO I LÓGICA Y CONJUNTOS

Temas del Capítulo I 1.1 Proposiciones Proposición Valor de verdad Tabla de verdad 1.2 Operadores lógicos Negación Conjunción Disyunción Disyunción exclusiva Condicional Variaciones de la condicional: Recíproca, inversa, contrarrecíproca Condiciones necesarias y suficientes

CONJUNCIÓN ∧ "y", "pero" 𝒑 𝒒 𝒑∧𝒒 1

Leyes de los Operadores Fundamentales Conjunción y Disyunción 𝑝∧𝑞 ≡ 𝑞∧𝑝 Conmutativa 𝑝∨𝑞 ≡ 𝑞∨𝑝 𝑝∧𝑞 ∧𝑟 Asociativa 𝑝∧ 𝑞∧𝑟 𝑝∧𝑝 ≡𝑝 Idempotencia 𝑝∨𝑝 ≡𝑝 𝑝∧1 ≡𝑝 Identidad 𝑝∨0 ≡𝑝 𝑝∧0 ≡0 Absorción 𝑝∨1 ≡1

Leyes de los Operadores Negación, Condicional y Bicondicional EQUIVALENCIAS NOMBRE DE LA LEY ¬0≡1 ¬1≡0 NEGACION ¬ ¬𝑝 ≡𝑝 DOBLE NEGACION O INVOLUTIVA 𝑝∨ 𝑞∧𝑟 ≡ 𝑝∨𝑞 ∧ 𝑝∨𝑟 𝑝∧ 𝑞∨𝑟 ≡ 𝑝∧𝑞 ∨ 𝑝∧𝑟 DISTRIBUTIVAS ¬ 𝑝∧𝑞 ≡ ¬𝑝∨¬𝑞 ¬ 𝑝∨𝑞 ≡ ¬𝑝∧¬𝑞 DE MORGAN 𝑝∨¬𝑝 ≡1 TERCER EXCLUIDO 𝑝∧¬𝑝 ≡0 CONTRADICCION 𝑝→𝑞 ≡ ¬𝑝∨𝑞 ¬𝑝→𝑞 ≡ 𝑝∨𝑞 ¬ 𝑝→¬𝑞 ≡ 𝑝∧𝑞 CONTRASPOSITIVA O CONTRARECIPROCA

EQUIVALENCIAS LÓGICAS NOMBRE DE LA LEY 𝑝→𝑞 ∨¬ 𝑞→𝑝 ≡(𝑝→𝑞) 𝑝→𝑟 ∧ 𝑞→𝑟 ≡ 𝑝∨𝑞 →𝑟 𝑝→𝑞 ∧ 𝑝→𝑟 ≡ 𝑝→(𝑞∧𝑟) 𝑝∧𝑞 →𝑟 ≡ 𝑝→ 𝑞→𝑟 EXPORTACIÓN 𝑝→𝑞 ≡ 𝑝∧¬𝑞 →0 REDUCCIÓN AL ABSURDO 𝑝≡𝑞 ≡ 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝 EQUIVALENCIA

Actividad N°01 Demostrar aplicando las tablas de verdad las siguientes equivalencias a) 𝑝→𝑞 ∨¬ 𝑞→𝑝 ≡(𝑝→𝑞) b) 𝑝→𝑟 ∧ 𝑞→𝑟 ≡ 𝑝∨𝑞 →𝑟 c) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑝→𝑟 ≡ 𝑝→(𝑞∧𝑟) d) 𝑝→𝑞 ≡ 𝑝∧¬𝑞 →0 e) 𝑝≡𝑞 ≡ 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝

Actividad N°02 Del cuadro anterior, demostrar las siguientes equivalencias utilizando las propiedades elementales del Algebra proposicional. a) 𝑝→𝑞 ∨¬ 𝑞→𝑝 ≡(𝑝→𝑞) b) 𝑝→𝑟 ∧ 𝑞→𝑟 ≡ 𝑝∨𝑞 →𝑟 c) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑝→𝑟 ≡ 𝑝→(𝑞∧𝑟) d) 𝑝→𝑞 ≡ 𝑝∧¬𝑞 →0 e) 𝑝≡𝑞 ≡ 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑝

LEYES DE LAS IMPLICACIONES LÓGICAS FORMA SIMBÓLICA TAUTOLÓGICA 𝑝⇒𝑝 TRIVIAL 𝑝⇒ 𝑝∨𝑞 ADICIÓN 𝑝∧𝑞 ⇒𝑝 SIMPLIFICACIÓN 𝑝→𝑞 ∧𝑝 ⇒𝑞 MODUS PONENDO PONENS SUPOSICIÓN DEL ANTECEDENTE 𝑝→𝑞 ∧¬𝑞 ⇒¬𝑝 MODUS TOLENDO TOLLENS NEGACIÓN DEL CONSECUENTE 𝑝∨𝑞 ∧ ¬𝑝 ⇒𝑞 SILOGISMO DISYUNTIVO

𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∧𝑟 → 𝑞∧𝑠 𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∨𝑟 → 𝑞∨𝑠 DILEMAS CONSTRUCTIVOS 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 ⇒ 𝑝→𝑟 𝑝⟷𝑞 ∧ 𝑞⟷𝑟 ⇒ 𝑝⟷𝑟 TRANSITIVIDAD O SILOGISMO HIPOTÉTICO

Actividad N°03 Utilizando tablas de verdad determina el valor de las siguiente implicaciones lógicas a) 𝑝→𝑞 ∧𝑝 ⇒𝑞 b) 𝑝→𝑞 ∧¬𝑞 ⇒¬𝑝 c) 𝑝∨𝑞 ∧ ¬𝑝 ⇒𝑞 d) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∧𝑟 → 𝑞∧𝑠 e) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∨𝑟 → 𝑞∨𝑠 f) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 ⇒ 𝑝→𝑟 g) 𝑝⟷𝑞 ∧ 𝑞⟷𝑟 ⇒ 𝑝⟷𝑟

Actividad N°04 Utilizando las leyes del Algebra proposicional demuestre que todas representan una tautología. a) 𝑝→𝑞 ∧𝑝 ⇒𝑞 b) 𝑝→𝑞 ∧¬𝑞 ⇒¬𝑝 c) 𝑝∨𝑞 ∧ ¬𝑝 ⇒𝑞 d) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∧𝑟 → 𝑞∧𝑠 e) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑟→𝑠 ⇒ 𝑝∨𝑟 → 𝑞∨𝑠 f) 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 ⇒ 𝑝→𝑟 g) 𝑝⟷𝑞 ∧ 𝑞⟷𝑟 ⇒ 𝑝⟷𝑟

Tarea N°01 Usando las leyes de los operadores lógicos, simplificar las siguiente forma proposicional. 1) ¬ 𝑝→𝑞 ↔¬ 𝑞→𝑝 2) ¬𝑝→¬ 𝑝→𝑞 ∨ 𝑝∧ 𝑝→𝑞 →𝑝 3) ¬𝑞→¬𝑝 ∧¬ ¬𝑝→¬𝑞 ∨ 𝑝→¬𝑞 4) 𝑝→¬𝑞 ∧ 𝑞→¬𝑝 ∨ 𝑞→¬𝑟 5) ∼ ∼𝑝∧ 𝑞∨∼𝑟 △ 𝑞∧∼𝑝 ∨∼ 𝑝∨𝑟 6) Expresar la siguiente proposición en otra equivalente donde se use los operadores de negación e implicación 𝑝∧𝑞 ∨ 𝑟∨𝑠

Usando las leyes del algebra proposicional, demuestre: 7) 𝑞→𝑝 ∧ ∼𝑝→𝑞 ∧ 𝑞−𝑞 ≡𝑝 8) ∼ ∼ 𝑝∨𝑞 ∨𝑟 ∨∼ 𝑞→𝑟 ≡ 𝑝∨𝑞 ∧∼𝑟 9) Construir una tabla de verdad para: 𝑝→𝑞 ∧ 𝑞→𝑟 → 𝑝→𝑟 10) Utilizando el algebra proposicional, demostrar que la anterior forma proposicional es una tautología. En cada paso identifique la ley a utilizar

Aplicación lógica de los operadores en circuitos eléctricos sencillos 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛: 𝑝∧𝑞 p q 1

Disyunción