APROXIMACION A LA CUADRATURA DEL CÍRCULO Y RECTIFICACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA (MÉTODO GRÁFICO) Ing º Julio Antonio Gutiérrez Samanez circulo/cuadratura-circulo.shtml Cusco – Perú 2008

El célebre problema de la cuadratura del círculo trata, en realidad, de dos problemas a) La Cuadratura del Círculo, en sí, que busca conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o polígono regular de igual área que un círculo dado. b) La Rectificación de la Circunferencia, que consiste en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de igual perímetro (isoperímetro). El célebre problema de la cuadratura del círculo trata, en realidad, de dos problemas a) La Cuadratura del Círculo, en sí, que busca conseguir, usando sólo regla y compás, un cuadrado o polígono regular de igual área que un círculo dado. b) La Rectificación de la Circunferencia, que consiste en conseguir, usando sólo regla y compás, a partir de una circunferencia, un cuadrado o polígono regular, de igual perímetro (isoperímetro).

HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado y el radio del círculo de igual área (Isoárea) es constante”. = r L

Fracción de aproximación del Pi del holandés Metius: Fracción de aproximación del Pi del holandés Metius:

CUADRATURA DEL CÍRCULO EN 14 PASOS Para este efecto se sigue los pasos siguientes: 1.- Trazar el plano cartesiano con la recta horizontal (eje X) y otra perpendicular (eje Y) con origen en el punto (0,0). 2.- Tomar un valor unitario arbitrario (un centímetro, por ejemplo) y con él, dividir la recta X, en doce partes.

Sistema gráfico para ubicar la proporción dada por paralelismo.

3.- Ubicar por paralelismo los puntos (3.55, 0) y (11.3, 0) 4.- Trazar la recta auxiliar perpendicular a X en el punto (10, 0) 5.- Con el compás en el origen, trazar un arco con radio 11.3, hasta cortar la recta perpendicular (10, 0) 6.- Unir el punto encontrado con el origen (O) y prolongar esta recta oblicua. 7.- Desde el origen, con radio 3.55, trazar un arco que corte a la recta oblicua

8.- Desde este punto, trazar la perpendicular al eje X. El punto hallado será, aproximadamente el valor de Pi, ~  = (Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación de 2.68 * centímetros)

9.- Se ubica el punto: (1+  ) en X y con el compás se toma la mitad de su magnitud 10.- Con la mitad de (  +1) como radio y desde ese punto medio se traza una semicircunferencia. OBTENCIÓN GRÁFICA DE RAÍZ DE PI

11.- Se traza la vertical x = 1, hasta cortar la semicircunferencia. El valor de este segmento será El valor de este segmento será 12.- Uniendo el origen y el punto (1, ), se traza la función Y= X

13.- Se traza un círculo de cualquier radio X, por ejemplo r =1, cuyo área será =  14.- Se traza un cuadrado de lado Y, (por ejemplo L=, cuyo área será =  ) Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X. Por lo tanto, cualquier círculo trazado con radio X, será isoárea del cuadrado de lado Y, a través de la función Y= X.

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA HIPÓTESIS.- “La relación del lado del cuadrado y el radio del círculo de igual perímetro (Isoperímetro) es constante”. = r L

RECTIFICACION DE LA CIRCUNFERENCIA

Teorema de Eusebio Corazao (1905) Todo polígono regular de n lados es medio proporcional entre su circulo inscrito y su circulo isoperímetro Teorema complementario de G.S. Todo círculo es medio proporcional entre el polígono regular que le circunscribe y su polígono regular isoperímetro

Relación entre la Cuadratura del Círculo y la Rectificación de la Circunferencia. Si un círculo inscrito en un cuadrado tiene igual área que un segundo cuadrado; entonces, el primer cuadrado tendrá el mismo área que otro círculo isoperímetro del segundo cuadrado

Nuevo Teorema generalizado entre polígonos isoáreas y polígonos isoperímetros. Si un círculo inscrito en un polígono regular de “n” lados tiene igual área que un segundo polígono regular, también de “n” lados; entonces, el primer polígono tendrá el mismo área que otro círculo isoperímetro del segundo polígono

FIN Muchas gracias Ing. Julio Antonio Gutiérrez Samanez circulo/cuadratura-circulo.shtml

OBTENCIÓN GRÁFICA DE  El número Pi aproximado obtenido es, ~  = ( El número Pi aproximado obtenido es, ~  = (Cifra a la que podemos sustraer el valor de  = ( ) obtenido en una calculadora personal de once dígitos, del modo siguiente: – Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros o 26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro promedio) puestos en fila Haciendo, paralelamente, el control por el método analítico se encontró que se trata de una aproximación o error por exceso de 2.66 * 10-7 centímetros o 26.6 Anstrongs que equivale a 13 átomos (de 2 Anstrongs de diámetro promedio) puestos en fila; también son 2.66 nm (nanómetros) Obviamente, para los alcances de la vista humana y trabajando sobre una hoja de papel A4, con un compás sencillo, la aproximación hallada no podría ser más exacta.

La Cuadratura con el Teorema de Corazao Proporción de Radios Proporción de Áreas

Dibujo simplificado de la rectificación de la circunferencia con el Teorema de Corazao