GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA Matemáticas I

: Indicado por la flecha : Longitud del vector = |PQ| SISTEMA DE REFERENCIA ORDENADAS Eje vertical Punto P(x1, y1) Punto Q(x2, y2) Y Q x2 Vector PQ y2 – y1 Teorema de Pitágoras y2 P x1 x2 – x1 y1 Eje horizontal ABSCISAS O X Origen de coordenadas ¡RECUERDA! Vector DIRECCIÓN SENTIDO MÓDULO DIRECCIÓN : Indicado por la flecha : Longitud del vector = |PQ| También, la distancia entre P y Q es: d(P, Q)

VECTORES w v SUMA DE VECTORES (regla del paralelogramo) v + w w v PRODUCTO POR UN ESCALAR v ( < 0) v v ( > 1)

VECTORES VECTORES EQUIPOLENTES: Tienen igual dirección, módulo y sentido VECTORES LIBRE: El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí representan el mismo vector libre. Por tanto, no tiene fijado el punto de aplicación Un vector v define una dirección en el plano

VECTORES. COMPONENTES DE UN VECTOR Y v = vx + vy Q x2 vx = |vx| = x2 – x1 v vy = |vy| = y2 – y1 vy y2 x1 P vx Como sistema de referencia para los vectores, se eligen dos vectores unitarios en las direcciones de los ejes de coordenadas j y1 i O X Entonces: vx = (x2 – x1) i vy = (y2 – y1) j v = ( vx , vy ) Y, por tanto: v = (x2 – x1) i + (y2 – y1) j  v = (x2 – x1, y2 – y1) A vx y vy se les llama componentes del vector v, y, por extensión, a

VECTORES Ejercicio: Considera los puntos A (1, 0) y B (−2, 3). Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales. Consideramos el vector A C D B v = (1, 1) Las coordenadas de C pueden obtenerse sin más que trasladar el punto A mediante el vector v: C = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1) Las coordenadas de D pueden obtenerse sin más que trasladar el punto C mediante el vector v: D = (0, 1) + (1, 1) = (1, 2)

VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Sean los vectores v(vx, vy) y w(wx, wy). v Definimos el producto escalar de estos dos vectores: v·w = |v|·|w|·cos(v, w) donde (v, w) es el ángulo formado entre v y w. (v, w) w (w, v) PROPIEDADES El resultado del producto escalar es un escalar: un número real. Es conmutativo puesto que cos(v, w) = cos(w, v). Es homogéneo: k·(v·w) = (kv)·(w) = v·(kw) . Es distributivo: u·(v + w) = u·v + u·w .

PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES. Interpretación geométrica. v·w = |v|·|w|·cos  w Observamos que vw = v·cos = proyección de v sobre w. vw v·w = 0  |v|·|w|·cos = 0  cos = 0   = 90º o  = 270º  v  w Por tanto, decir que el producto escalar de dos vectores es nulo, equivale a decir que son perpendiculares. v·v = |v|·|v|·cos0º = |v|2 ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES. v·w = |v|·|w|·cos 

EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES v·w = (vx, vy)·(wx, wy) = (vxi + vyj)·(wxi + wyj ) = = (vx·wx)i·i + (vx·wy)i·j + (vy·wx)j·i + (vy·wy)j·j Ahora, observemos los resultados de los productos escalares de los vectores de la base: i·i = j·j = 1·1·cos0º = 1 i·j = j·i = 1·1·cos90º = 0 Por tanto: v·w = vx·wx + vy· wy Y entonces:

VECTORES. PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES Ejemplo. Dados los vectores u(1, 3) y v(4, 1), calcula: a) El producto escalar u·v b) El ángulo que forman los vectores u y v. c) El área del triángulo que tiene por lados los vectores u y v. a) u·v = (1, 3)·(4, 1) = 1·4 – 3·1 = 4 – 3 = 1 b) Por tanto:  = arc cos 0,0767  86º u c) Área TRIÁNGULO = h  v Pero h = |u|·sen = Por tanto: Área TRIÁNGULO ≈ 13 u2

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO Q Dado un vector v, si lo suponemos con origen en O, determina un punto que coincide con el extremo del vector. P v R v v Conforme multipliquemos v por un número real  cualquiera, éste se alargará ( >1), o se encogerá ( < 1), o bien invertirá su sentido ( < 0). Pero, en cualquier caso, mantendrá la misma dirección. Cuando  recorra todos los valores reales, habremos determinado todos los puntos de una recta que tiene la dirección de v. Q Esta recta se denomina recta vectorial definida por v, y su ecuación es: v,   Pero, v es un vector libre. Su origen no está ‘sujeto’ a O. Por tanto, la recta sólo tiene determinada su dirección. Para «fijarla», necesitamos conocer un punto por el que pasa. Así pues, una recta quedará determinada si conocemos un vector con su dirección (vector director) y un punto perteneciente a dicha recta.

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO ECUACIÓN VECTORIAL P(x1, y1) Suponemos conocidos: Un punto de la recta P(x1, y1) y un vector dirección v(vx, vy) = v PX OP v X(x, y) OX Sea r la recta que pasa por P con esa dirección O Una ecuación de r determina la condición que ha de cumplir cualquier punto X(x, y) de la recta. Observamos que, OX = OP + PX Es obvio que PX = v, para cierto valor de . Por tanto: OX = OP + v  (x, y) = (x1, y1) + (vx, vy) = (x1 + vx, y1 + vy) Si igualamos componente a componente, obtendremos las ECUACIONES PARAMÉTRICAS de la recta:

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO x = x1 + vx La recta r tiene ecuaciones paramétricas: y = y1 + vy Despejamos el parámetro en cada ecuación: Por tanto, ECUACIÓN CONTINUA: ECUACIÓN DE LA RECTA DETERMINADA POR DOS PUNTOS Una recta queda determinada si conocemos dos de sus puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2). Conocidos P y Q, también conocemos v = PQ = (x2 – x1, y2 – y1). Así pues, ECUACIÓN CONTINUA:

Ejemplo 1. Halla las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A(1, 2) y tiene como vector dirección v(2, 3). Idem en forma continua. ECUACIONES PARAMÉTRICAS ECUACIÓN CONTINUA x = y = 1 2 + 2 – 3 x – y – 1 2 ––––––– = ––––––– 2 –3 Ejemplo 2. Halla la ecuación en forma continua de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 1). x – y – 1 2 x – 1 y – 2 ––––––– = –––––––  ––––––– = ––––––– 3 –1 – 1 – 2 2 –3

ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO La recta r tiene ecuación continua: Quitamos denominadores: (y2 – y1)(x – x1) = (x2 – x1)(y – y1) Operamos y reducimos términos: (y2 – y1)x – (x2 – x1)y – (y2 – y1)x1 + (x2 – x1)y1 = 0 A B C ECUACIÓN GENERAL: Ax + By + C = 0 Por otra parte, si despejamos ‘y’ de:  y = m(x – x1) + y1 m Operamos : y = mx – mx1 + y1  y = mx + n ECUACIÓN EXPLÍCITA n

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: RELACIÓN DE LOS COEFICIENTES ECUACIÓN EXPLÍCITA: y = mx + n m = = tan  En el caso de que conozcamos el vector dirección (vx, vy), también: Q(x2, y2) y2 y2 – y1 m =  P(x1, y1) y1 x2 – x1 m = PENDIENTE de la recta n x1 x2 n = ORDENADA EN EL ORIGEN Ejemplo: y = 3x + 2 Pendiente: m = 3  = arc tan 3 ≈ 71º 34’ n = 2  Ordenada en el origen: n = 2 

ECUACIÓN DE LA RECTA EN EL PLANO: RELACIÓN DE LOS COEFICIENTES ECUACIÓN GENERAL: Ax + By + C = 0 Sea P un punto de la recta r. X(x, y) Sea el vector v = (A, B), PERPENDICULAR a la recta r. PX Entonces, un punto cualquiera X de la recta verificará que el vector PX será también perpendicular v. P(x1, y1) v Y recordemos que, si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar es nulo: v · PX = (A, B) · (x – x1, y – y1) = 0  A(x – x1) + B(y – y1) = 0  Ax + B y – Ax1 – By1 = 0  Ax + B y + C = 0 C Recíprocamente, si Ax + By + C = 0 es la ecuación general de una recta r, el vector (A, B) es perpendicular a dicha recta.

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 1). Calcula la pendiente y la ordenada en el origen. Expresa la ecuación en las formas explícita, general, continua y canónica. x – y – 1 2 x – 1 y – 2 ––––––– = –––––––  ––––––– = ––––––– FORMA CONTINUA 3 –1 – 1 – 2 2 –3 Quitamos denominadores: –3(x – 1) = 2(y – 2)  3x + 2y – 7 = 0 FORMA GENERAL Despejamos y: 2y = –3x + 7  Pendiente m = FORMA EXPLÍCITA Ordenada en el origen n = Partimos de la forma general: 3x + 2y – 7 = 0  3x + 2y = 7 Dividimos todo por 7:  FORMA CANÓNICA

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS RESULTADOS ANTERIORES Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, 2) y B(3, 1). Calcula la pendiente y la ordenada en el origen. Expresa la ecuación en las formas explícita, general, continua y canónica. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS RESULTADOS ANTERIORES FORMA CONTINUA 3x + 2y – 7 = 0 FORMA GENERAL 7 2  tan  = FORMA EXPLÍCITA  ≈ 123º 41’ 7 3 FORMA CANÓNICA

POSICIÓN RELATIVA DE UN PUNTO Y UNA RECTA Dados un punto P(x1, y1) y una recta r de ecuación Ax + By + C = 0, diremos que el punto pertenece a la recta, o que la recta pasa por el punto si: Ax1 + By1 + C = 0 Análogamente, si la ecuación de la recta viene dada en cualquiera otra de sus formas, un punto P(x1, y1) pertenece a la recta si cumple dicha ecuación. Ejemplo: Determinar la incidencia de los puntos y rectas que figuran a continuación: a) A(1, 4); 2x + 3y – 21 = 0 b) B(0, 7); c) C(2, 5); a) 2·1 + 3·4 – 21 = 2 + 12 – 21 = –7 ≠ 0  A  recta (EXTERIOR) b)  B  recta c) 5 = (5/2) · 2  C  recta

Todos los puntos comunes POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Pueden darse tres casos distintos: RECTAS SECANTES Tienen un punto común RECTAS PARALELAS Ningún punto común RECTAS COINCIDENTES Todos los puntos comunes Identificaremos cada uno de estos casos a partir de las ecuaciones de las rectas. Sean r: Ax + By + C = 0 s: A’x + B’y + C’ = 0 Estudiamos su posición relativa, resolviendo el sistema de ecuaciones: Por reducción: Restamos: [A’B – AB’]y = AC’ – A’C  Y, análogamente, se obtiene: 

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS Hemos obtenido como soluciones del sistema: En el caso en que A’B – AB’ = 0, no es posible la división. Pero estaríamos en un caso de indeterminación si también el numerador es cero, puesto que las igualdades [A’B – AB’]y = AC’ – A’C; [AB’ – A’B]x = BC’ – B’C se cumplirían para cualesquiera valores de x e y (infinitas soluciones). Obervamos que: A’B – AB’ = 0  AB’ = A’B  B’C – BC’ = 0  BC’ = B’C  AC’ – A’C = 0  AC’ = A’C  Por tanto: RECTAS PARALELAS Numeradores no nulos y denominador nulo: No hay solución  No hay punto común. RECTAS COINCIDENTES Numeradores y denominadores nulos: Infinitas soluciones  Infinitos puntos en común.

Averigua la posición relativa de los siguientes pares de rectas, indicando el punto de intersección en caso de ser secantes: a) r: 3x + 6y  9 = 0; s: x + 2y  7 = 0 b) r: x + y  2 = 0; s: 3x  4y = 0 3x + 6y – 9 = 0 x + 2y – 7 = 0 3 6 –9 –– = –– = –– / RECTAS PARALELAS 1 2 –7 x + y – 2 = 0 3x – 4y = 0 1 1 –2 –– = –– = –– / / RECTAS SECANTES 3 –4 0 Para encontrar el punto de corte, resolvemos el sistema: [1] – [2] 7y = 6  y =  x = Por tanto, el punto de corte es ( , )

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA r: Ax + By + C = 0 (A, B) P(x1, y1) Tomemos un punto Q(x2, y2)  r / PQ  r Evidentemente, en un principio no conocemos las coordenadas de este punto Q. Q(x2, y2) v La distancia del punto P a la recta r es: d(P, r) = | | Q  r  Ax2 + By2 + C = 0  Ax2 + By2 = –C Pero no tenemos la certeza de que el vector (A, B) tenga el sentido que aparece en el dibujo o su opuesto, en cuyo caso sería cos180º = –1, en lugar de cos 0º = 1. Por tanto, en términos absolutos:

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Ejemplo: Calcula la distancia del punto P(3, 7) a la recta 3x + 4y –7 = 0 Sustituimos las coordenadas del punto dado en el miembro de la izquierda de la ecuación de la recta: 3·3 + 4·7 – 7 = 30 Por tanto:

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Sean r: Ax + By + C = 0 s: Ax + By + D = 0 Obviamente, si ambas están al mismo lado del origen de coordenadas: d(r, s) = d(O, s) – d(O, r) Por tanto: d(r, s) = O s r Ejemplo: Distancia entre r: 4x – 3y + 2 y s: 4x – 3y + 9 ¡Observa que los coeficiente de x e y deben ser respectivamente iguales! d(r, s) =

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS r: Ax + By + C = 0 (A, B)  s: A’x + B’y + C’ = 0 (A’, B’) v v  w w Por ser perpendiculares a ambas rectas, los vectores directores forman el mismo ángulo que ellas. v·w = |v|·|w|·cos  De esta manera puede ser determinado el ángulo entre dichas rectas. Ejemplo: Calcula el ángulo que forman entre sí las rectas: r: 3x  2y + 8 = 0; s: 2x + 5y  7 = 0

ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS r: y = mx + n m = tan  m’ = tan    El ángulo formado por las dos rectas r y s es:  =  –   s: y = m’x + n’ Ejemplo. Averigua el ángulo formado por las dos rectas y = 3x – 1 e y = 5x + 4   = arc tan 0,125 ≈ 7º 7’ 30” CONDICIÓN DE PARALELISMO:  = 0º  tan  = 0  m’ – m = 0  m = m’ CONDICIÓN DE PERPENDICULARIDAD:  = 90º   tan   1 + m’· m = 0  ⁄

Dada la recta de ecuación x + 2y  4 = 0, hallar la ecuación de su perpendicular por el punto P(2, 4). PROCEDIMIENTO 1 x + 2y – 4 = 0  v(1, 2) vector normal a la recta  dirección de su perpendicular Pasa por el punto P(2, 4): Vector director v(1, 2): Forma continua: PROCEDIMIENTO 2 x + 2y – 4 = 0  Condición de perpendicularidad:  m’ = 2 y = m’(x – x1) + y1  y = 2(x – 2) + 4  y = 2x PROCEDIMIENTO 3 x + 2y – 4 = 0  v(1, 2)  r  w(2, –1)  v A(x – x1) + B(y – y1) = 0  2(x – 2) – (y – 4) = 0  2x – y = 0

Calcula su perímetro, su área y los ángulos interiores. Los puntos A(3, 0) y B(0, 4) son dos vértices de un rombo cuyas diagonales se cortan en el origen de coordenadas. Calcula su perímetro, su área y los ángulos interiores.  B(0, 4) Por tanto, el perímetro mide: P = 4 · 5 = 20 u Es evidente que las diagonales miden: D = 8 y d = 6 A(3, 0)  Así: Para calcular los ángulos interiores, consideramos el vértice C(–3, 0) C(–3, 0) Y consideramos los vectores BC(–3, –4) y BA(3, –4) Como los cuatro ángulos de un cuadrilátero suman 360º, el otro ángulo mide:  = 180º –  = 180º – 73º 44’ = 106º 16’

Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas: r: 4x + 3y = 0 y s: 5x  12y = 7. Una bisectriz, además de dividir el ángulo en dos partes iguales, es el lugar geométrico de los puntos que están a igual distancia de las dos rectas. Por tanto, expresamos esta igualdad con un punto genérico X(x, y): d(X, r) = d(X, s)     13(4x + 3y) = 5 (5x  12y  7)  27x + 99y + 35 = 0 Ecuación de una de las bisectrices. La otra bisectriz se obtiene cambiando el signo en uno de los miembros de la igualdad: d(X, r) = –d(X, s)     13(4x + 3y) = 5 (5x  12y  7)  77x  21y  35 = 0.

FIN de GEOMETRÍA