Interferencia y Ruido en la Modulación Lineal Pr. F. Cancino

Introducción Uno de los aspectos más importantes que caracterizan a los diferentes tipos de modulación es su comportamiento frente al ruido. Usualmente este factor es proporcional al ancho de banda. Esto último se estudiará cualitativamente y un parámetro estimador será la relación S/N. Luego de revisar las convenciones de un sistema de comunicaciones completo, se analizará el efecto de la interferencia y el ruido para los diversos sistemas de modulación

Modelo de un Sistema de Comunicación Las convenciones serán las siguientes: 𝑥 𝑡 ≤1 , 𝐴𝐵𝑥 𝑡 =𝑊 El canal solo atenúa, no distorsiona. El filtro pasa-banda BPF con HR(f) tiene ganancia unitaria sobre BR  BT El filtro pasa-bajos LPF tiene ancho de banda W. De esta forma:  

Señales Pasa-Banda Es útil su presentación en la forma: Envolvente – Fase Componente en fase – componente en cuadratura. Sea xc(t) es la representación envolvente – fase: 𝑥𝑐(𝑡) = 𝑅(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑐𝑡+(𝑡)) Si en esta expresión se expande el coseno; se obtiene la representación componente en fase y componente en cuadratura: 𝑥𝑐(𝑡) = 𝑅(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝐶𝑜𝑠𝑐𝑡 – 𝑅(𝑡)𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑆𝑒𝑛𝑐𝑡

Componentes en fase y en cuadratura 𝑥𝑐(𝑡) = 𝑥𝑖(𝑡)𝐶𝑜𝑠𝑐𝑡 – 𝑥𝑞(𝑡)𝑆𝑒𝑛𝑐𝑡 Componente en fase: 𝑥𝑖(𝑡)=𝑅(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) Componente en cuadratura: 𝑥 𝑞 (𝑡)=𝑅(𝑡)𝑆𝑒𝑛(𝑡) En consecuencia las señales moduladas analógicamente pueden ser representadas en términos de su componente en fase y su cuadratura.  

Señales moduladas analógicamente en sus componentes Envolvente-Fase y componente fase-cuadratura Componente en fase: 𝑥𝑖 (𝑡)=𝐴𝑐 1+𝑚𝑥 𝑡 ; Componente en cuadratura: 𝑥𝑞(𝑡)=0 DSB: 𝑥 𝐷𝑆𝐵 (𝑡) =𝐴𝑐 𝑥(𝑡)𝐶𝑜𝑠𝑐𝑡 Envolvente: 𝑅 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑥 𝑡 Fase: ∅ 𝑡 = 0 𝑠𝑖 𝑥 𝑡 >0 𝜋 𝑠𝑢 𝑥 𝑡 <0 Componente en fase: 𝑥𝑖 (𝑡)=𝐴𝑐 𝑥(𝑡) Componente en cuadratura: 𝑥𝑞(𝑡)=0

Señal modulada en SSB SSB: Envolvente: 𝑅 𝑡 = 𝐴𝑐 𝑥 𝑡 Fase: 3. Componente en fase: 4. Componente en cuadratura:

Señal modulada en VSB VSB: Envolvente: Fase: 3. Componente en fase: 4. Componente en cuadratura:

Señal modulada en FM Envolvente: Fase: Componente en fase: Componente en cuadratura:

Señal modulada en PM Envolvente: Fase: Componente en fase: Componente en cuadratura:

Salida de los diferentes detectores Con detector de envolvente:  𝑦(𝑡)=𝐾1𝑅(𝑡) Con detector Sincrónico:  𝑦(𝑡) = 𝐾2 𝑥𝑖(𝑡) ó 𝐾3 𝑥𝑞(𝑡) Con detector de Fase:  𝑦(𝑡) = 𝐾4(𝑡) Con detector de frecuencia: 𝑦 𝑡 = 𝐾 5 𝑑∅ 𝑡 𝑑𝑡

Interferencia de un Tono en la Modulación Lineal Señal interferente: Amplitud = 𝐴𝐼 ; frecuencia =𝑓𝑐 +𝑓𝐼   Señal que llega al modulador (antes de la detección): Expandiendo los cosenos: Llamando: Luego:

AM con detector de envolvente Con interferencia pequeña: AI << R(t): Si fI > W (ancho de banda del mensaje), la interferencia se elimina con el filtro pasa-bajo que sigue al detector.   Si fI < W aparece un tono que afecta una sola frecuencia de poca altura, luego no es de mayor relevancia.

AM con detector de envolvente (2) Con interferencia grande: AI >> R(t) Bloqueando el nivel DC (AI)  En este caso el mensaje se traslada a la frecuencia 𝑓 𝐼

AM con detector sincrónico Con un detector sincrónico siempre se obtiene 𝑥 𝑖 (𝑡). En el caso de AM: 𝑥𝑖(𝑡)=𝑅(𝑡)+𝐴𝐼 𝐶𝑜𝑠 𝜔 1 𝑡   Si fI > W, el filtro de salida eliminará esta interferencia. Si fI < W, sea grande o pequeña de amplitud, solo afecta una frecuencia específica. Esta es una ventaja del detector sincrónico que también se hace presente en el análisis del ruido. Es por esto que a veces se prefiere la detección sincrónica sobre el detector de envolvente.

Ruido Pasabanda Es un sistema de comunicación en general se supone que en el canal, la señal además de atenuarse, también sufre el efecto de interferencia y ruido. Ya en el receptor, lo primero que se encuentra es un filtro pasabanda como se ilustra en la Figura, empleando la Característica ideal.

Generación de Ruido pasabanda de Banda estrecha El ruido a la salida de este filtro se llama RUIDO PASABANDA de banda estrecha. Este ruido se puede describir a través de la forma: Envolvente – fase: n(t) = Rn(t) Cos(ct + n(t)) n(t)= Rn(t) Cosn(t )Cosct - Rn(t) Senn(t) Senct Llamando: ni(t) = Rn(t) Cosn(t) y nq(t) = Rn(t) Senn(t) La señal resultante aparecerá como se aprecia en las siguientes figuras

Señal resultante: Ruido Pasabanda Ruido de envolvente: Componentes en fase y en cuadratura: Descripción mediante la componente en fase y la componente en cuadratura del ruido: 𝑛 𝑡 = 𝑛 𝑖 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡− 𝑛 𝑞 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 En síntesis hay que describir Rn(t), n(t), ni(t) y nq(t) 𝑛 𝑖 𝑡 =𝑛 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡+ 𝑛 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 𝑛 𝑞 𝑡 = 𝑛 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡−𝑛 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡

Con las expresiones de ni(t) y nq(t), se deduce: E[ni(t). nq(t)] = 0 ni  nq E[ni(t)] = E[nq(t)] = 0 Si E[n(t)] = 0 La envolvente en fase del ruido: 𝑅 𝑛𝑖 𝑡 = 𝑅 𝑛 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡+ 𝑅 𝑛 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 Dado que: 𝑅 𝑛 𝑛 𝜏 = −𝑅 𝑛 𝜏 , 𝑅 𝑛 𝑛 𝜏 = 𝑅 𝑛 𝜏 La DEP del ruido será: 𝐺 𝑛𝑖 𝑓 = 𝐺 𝑛𝑞 𝑓 = 𝐺 𝑛 𝑓− 𝑓 𝑐 + 𝐺 𝑛 𝑓+ 𝑓 𝑐 ; 𝑓 ≤𝐵 El valor cuadrático medio del ruido: 𝑛 𝑖 2 = 𝑛 𝑞 2 = 𝑛 2 Si n(t) es gaussiano, ni(t) es gaussiano y nq(t) también es gaussiano.

Funciones de probabilidad de ruido Si ni(t) y nq(t) son ortogonales, y 𝑛 𝑖 = 𝑛 𝑞 =0 (media cero)  los problemas de las 2 señales se reducen a que están decorrelacionadas y si son gaussianas y decorrelacionadas, se dice que son independientes. Además tienen la misma varianza. Función de densidad de probabilidad de ni: Función de densidad de probabilidad de nq:   Función de densidad de probabilidad de conjunta:  2 = varianza de ni, nq y n.

Densidad de probabilidad de Rn(t) y f 𝒏 (t) Cuando se tienen funciones de variables aleatorias (bidimensionales) se puede hablar del “Equivalente bidimensional” que permite la transformación de variables aleatorias. Donde P(Rnin) es la función de densidad de probabilidad conjunta de Rn y n.

Densidad de probabilidad de Rn(t) y ∅ 𝒏 (t) Pero: se llega a: No obstante: Adicionalmente si Pni y Pnq son gaussianas, la probabilidad conjunta será: Cálculo de la probabilidad marginal de n: Dos cualidades a tener en cuenta: Rn no puede ser negativa y n está limitada [-, ]

Función densidad de probabilidad de la fase Como [- < n < ] para evitar ambigüedades, se tiene que está distribuida uniformemente entre - y . De donde se puede deducir:

Probabilidad marginal de Rn Esta función corresponde a una DISTRIBUCION DE RAYLEIGH

Propiedades Probabilidad marginal de Rn Donde 2 es la varianza de n (ni, nq), pero no de Rn. Conclusión: Se observa que n y Rn son estadísticamente independientes ya que:

Densidad espectral de potencia de ni y nq 𝑛 𝑡 = 𝑛 𝑖 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡− 𝑛 𝑞 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 El ruido después del filtro HR(f), DEP del ruido es de la siguiente forma: Filtro de detección es de la forma: Luego hR(t) = 2h0(t) Cosct h0(t): Respuesta impulso de H0(f) hR(t): Respuesta impulso de HR(f)

Detección coherente Al aplicar la señal de ruido pasa-banda a la entrada del sistema pasa-banda ideal, la salida debe ser 𝑛 𝑜 (𝑡).

Ruido en la Modulación Lineal Modelo del receptor para estudio del ruido en la modulación lineal: Considerando la señal de salida del filtro HR(f) : Dado L como la atenuación en potencia del canal de transmisión

Relación señal a ruido recibida Potencia promedio de la señal de entrada al detector = SR Potencia promedio del ruido: Luego: Y la relación señal a ruido será:

Relación S/N en las modulaciones lineales En AM: BT = 2W: En DSB: BT = 2W: En SSB: BT = W: En VSB: 𝑊 2  𝐵𝑇  𝑊 Para analizar es necesario conocer el tipo de detector utilizado

Con Detector Sincrónico Doble banda lateral: DSB 𝑥 𝐷𝑆𝐵 𝑡 = 𝐴 𝑅 𝑥 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡 y 𝐵 𝑇 = 2𝑊 Salida del detector:

DEP antes y después de la detección sincrónica Se concluye:  El mensaje y el ruido son aditivos en la salida. La componente en cuadratura del ruido se elimina. El espectro de potencia del ruido en la salida: Gni(t) = Gnq(t), se traslada al origen  La DEP antes de la detección se muestra en la Figura: DEP después de la detección:

Cálculos de potencias en el detector Potencia de entrada de señal al detector: Potencia de señal de salida del detector: Cálculo de la potencia del ruido: Señal de ruido antes de la detección: 𝑛 𝑡 = 𝑛 𝑖 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡− 𝑛 𝑞 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 Señal de ruido después de la detección: 𝑛 1 (𝑡) = 𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠  𝑐 𝑡

Ruido en la detección coherente 𝑛 1 𝑡 = 𝑛 𝑖 𝑡 𝐶𝑜𝑠 2 𝜔 𝑐 𝑡− 𝑛 𝑞 𝑡 𝑆𝑒𝑛 𝜔 𝑐 𝑡 𝐶𝑜𝑠 𝜔 𝑐 𝑡 𝑛 1 𝑡 = 1 2 𝑛 𝑖 𝑡 + 1 2 𝑛 𝑖 𝑡 𝐶𝑜𝑠2 𝜔 𝑐 𝑡− 1 2 𝑛 𝑞 𝑡 𝑆𝑒𝑛2 𝜔 𝑐 𝑡 𝑛 𝐷 𝑡 = 1 2 𝑛 𝑖 𝑡 Después del filtro LPF: Potencia de ruido detectada: Luego: Al trasladar el mensaje y el ruido al origen de frecuencias el ruido lo hace en forma INCOHERENTE, mientras que el mensaje lo hace COHERENTE

AM (con detector sincrónico) Señal antes de la detección: Potencia recibida de la señal AM: Potencia recibida del ruido: NR=2W puesto que BT=2W Luego:

S/N detectado en AM con detector sincrónico A la salida del detector síncrono, después del filtro LPF tenemos: Eliminando la DC: Efectuando la relación: Y tendrá un máximo cuando: Se concluye que DSB debe mandar la mitad de potencia que AM para lograr la misma

En SSB: Señal antes de la detección: Donde: 𝑓 0 = 𝑓𝑐±𝑊/2. Potencia de la señal recibida: El ruido está representado como pasabanda alrededor de: 𝑓0 = 𝑓𝑐±𝑊/2

Detector sincrónico para SSB Al pasar esta señal por el filtro LPF, resulta: Luego:

Relación S/N detectada en SSB Potencia del ruido detectada: Salida demodulada: Potencia de la Señal demodulada: La relación señal a ruido detectada:

Cuadro resumen comparativo con detector sincrónico

Detección de AM con Detector de Envolvente: Antes de la detección: Envolvente: Pero esta expresión es difícil de analizar. Sin embargo pensando primero en el caso más sencillo que es: Efectuando un esquema fasorial, se obtiene:

Detección AM con detector de envolvente si (S/N)R grande Eliminando el nivel DC  Queda lo mismo que con el detector sincrónico y el análisis es el mismo anterior. Por tanto la relación señal a ruido detectada es:

Detección AM con detector de envolvente si (S/N)R pequeña En el caso en que domine el ruido frente a la señal, es decir (S/N)R pequeña: Envolvente:

Esquema fasorial con detector de envolvente si (S/N)R pequeña Se observa que hay un término de ruido Cosn(t) que multiplica al mensaje x(t), mutilándolo y en este caso no tiene sentido pretender el cálculo de una relación señal a ruido. Luego el nivel comienza a influir seriamente en la mutilación o pérdida del mensaje. Es decir, hay que buscar un UMBRAL sobre el cual la mutilación es despreciable. Este fenómeno es conocido como “efecto umbral en la detección de envolvente”.

Efecto Umbral en la Detección de Envolvente Si AR >> Rn considerando se dice que no hay mutilación del mensaje se define el punto de decisión ó umbral como aquel que produce P[AR  Rn] = 0.99  P[Rn  AR] = 0.01 Pero: Distribución de Raleigh Potencia de la señal recibida: Si:

Efecto Umbral en la Detección de Envolvente (cont.) Luego: Pero: En la práctica requiere:

Efecto Umbral en la Detección de Envolvente (cont.) En magnitud: Si se espera mutilación del mensaje con pérdida de información.