Fundamentos de Control Realimentado Clase 6 - Versión 1 - 2018 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2018. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Para mostrar animaciones desde el comienzo presione F5

Contenido Especificaciones de buena performance en el tiempo 2 Definiciones En sistemas de primer orden En sistemas de segundo orden Vinculación de la performance en el tiempo con la ubicación de los polos

Formas de describir a un sistema dinámico 3 Formas de describir a un sistema dinámico La descripción matemática de un sistema dinámico lineal e invariante en el tiempo se puede hacer mediante distintas formas equivalentes. Estas formas son en: 1) el dominio temporal t -> respuesta al escalón, al impulso, entre otras 2) el dominio de las derivadas totales -> dny/dtn= f(dn-1y/dtn-1,…, dy/dt, y, u) 3) el dominio de la variable de Laplace s -> F(s) 4) el dominio de espacio de estados X -> dX/dt = f(X,u) 5) el dominio de frecuencias  -> F() 6) el dominio de la variable discreta z -> F(z) (Sistemas dinámicos digitales)

Descripción temporal de sistemas dinámicos 4 Descripción temporal de sistemas dinámicos A través de parámetros que describen la evolución temporal de un sistema dinámico, se puede especificar la performance o desempeño del mismo de acuerdo a un criterio preestablecido. El empleo de estos parámetros tiene doble fin: 1) Para el Análisis de un Sistema Dinámico. Por ejemplo, se conoce su Función de Transferencia de Laplace de la planta G(s) y a partir de la información de sus polos complejos conjugados más dominantes, se calculan los parámetros temporales de su respuesta a una entrada escalón 2) Para el Diseño de un Sistema de Control. Por ejemplo, se definen valores deseados de las especificaciones temporales de la salida controlada y luego se diseña el controlador para que la Función de Transferencia del Sistema de Control tenga sus polos y ceros en zonas apropiadas para cumplir las especificaciones temporales preestablecidas en el diseño.

Definición de parámetros en una evolución temporal 5 Definición de parámetros en una evolución temporal y(t) t 100% u(t) Respuesta al escalón Mp Mp Tiempo de subida tr Tiempo insumido por la respuesta al escalón en subir desde el 10% al 90% de su valor final 95% 105% tp 90% 10% ts tr Tiempo de establecimiento ts Tiempo en que la respuesta al escalón alcanza a mantenerse definitivamente dentro del  5% de su valor final. También puede ser  1% Entrada escalonada Sobrepico Mp Elongación máxima de la respuesta al escalón respecto a su valor final Tiempo de pico tp Instante en donde ocurre el sobrepico

Parámetros temporales según clases de sistemas dinámicos 6 Parámetros temporales según clases de sistemas dinámicos De primer orden Oscilantes subamortiguados de 2do orden De fase no-mínima Notas: Los sistemas oscilantes son muy importantes en sistemas de control, puesto que una simple realimentación sobre plantas (que aún cuando no sean oscilantes) conduce frecuentemente a sistemas oscilantes A menudo la respuesta del sistema de control se comporta aproximadamente como un sistema de segundo orden

t 7 Respuesta de primer orden - Simulación tr= - t ln(0.1/0.9)=2.19 t 1.0 1.5 0.0 20 40 60 80 100 120 tiempo 0.5 0.9 y(t)=1-e-t tr= - t ln(0.1/0.9)=2.19 t ts= - t ln(0.05)=3t Mp=0 U(s)=1/s u(t)=1(t) ts ±5% de h() escalón t tr respuesta Y(s)= H(s) 1/s y(t)=1-e-t

8 Respuesta al escalón de un sistema oscilante de 2do orden tp Mp ts 3 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 20 40 60 80 100 120 tiempo tp Mp ±10% de h() ts tr

9 Respuesta de fase no-mínima - Simulación Mp2 tp1 tr tp2 ts Mp1 -.5 0.5 1.0 20 40 60 80 100 120 tiempo 0.0 ts ±% de h() Mp2 tp2 tr tp1 Mp1

Lectura del tiempo de subida tr en sistemas oscilatorios de 2do.orden 10 Lectura del tiempo de subida tr en sistemas oscilatorios de 2do.orden wntr Tomamos como promedio el valor de n tr =1.8 que corresponde a  =0.5

Deducción del tiempo de sobrepico tp 11 Deducción del tiempo de sobrepico tp La respuesta temporal al escalón 1(t) es: y(t) = 1 – e-st (C cos(d t - )) O bien:  = tan-1 /d tan-1 /d)

Deducción del tiempo de sobrepico tp 12 Deducción del tiempo de sobrepico tp En donde la condición de extremo (es decir su primera derivada igualada a cero) es: El 1er cero en t=0 no es un extremo. En su 2do cero se debe producir el máximo, es decir en t =/d: Por lo tanto el primer máximo ocurre en:

Deducción del sobrepico Mp 13 Reemplazando el tiempo de sobrepico en la respuesta temporal al escalón:  /d y expresando dependencia sólo de : Ejemplo: Si Mp= 0.1 (es decir: 10%) y se solicita   = 1/1+(/2.3)2 =0.59

Relación entre el sobrepico y el amortiguamiento 14 Relación entre el sobrepico y el amortiguamiento Ejemplos para  particulares: 0.45 2 0.4 25 25% 20%

Deducción del tiempo de establecimiento ts 15 Deducción del tiempo de establecimiento ts Para una precisión en estado estacionario de ±1%, recurrimos a la evolvente e-t

Resumen de especificaciones temporales para un sistema subamortiguado 16 Resumen de especificaciones temporales para un sistema subamortiguado 1) Tiempo de subida o trepada tr tr = 1.8 wn (para =0.5 o sea q=30°) 2) Sobrepico Mp 2’) Pico inverso Mpi (2do. cero) Mpi dh(t) dt = 0 Mp = e-pz / 1-z2 3) Tiempo de sobrepico tp 3’) Tiempo de pico inverso tpi tp = p wd tpi h(tpi) = Mpi 4) Tiempo de establecimiento ts (para ±1% de tolerancia) ts = 4.6 (1%) s

Especificaciones de diseño en el plano de la variable compleja s 17 Especificaciones de diseño en el plano de la variable compleja s Con dos grados de libertad en la posición de los 2 polos complejos, es decir: (s,wd) o (,wn), sólo es posible asignar biunívocamente dos parámetros temporales del conjunto (tr, tp, ts, Mp). Por ello al fijar los valores en los dos grados de libertad, se puede indicar una terna o la cuaterna completa (tr, tp, ts, Mp) sólo a través de desigualdades: s z tp queda definido con ωd a través de  y ωn Im(s) Re(s) n Ejemplo: el conjunto de desigualdades

Zona de estabilidad para diseño 18 Zona de estabilidad para diseño jw s wd=cte wd=-cte jw wn=cte Zona inestable de respuesta creciente en el tiempo z=cte Zona estable de respuesta rápida Planta controlada Planta (sin control) s =cte s Zona estable de respuesta lenta

Fronteras de Buena Performance y Estabilidad 19 Fronteras de Buena Performance y Estabilidad Diseños equivalentes en distintos dominios 18 Tiempo t Frecuencia w Variable s