UNIDAD 1 Aritmética CONCEPTOS BÁSICOS

BIENVENIDOS A LA PRIMERA UNIDAD!!!

Para empezar …sabías que… Los números naturales tienen su origen en una necesidad tan antigua como lo son las primeras civilizaciones: la necesidad de contar. Para empezar …sabías que… El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre uno y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello empezó a representar las cantidades mediante marcas de huesos, trozos de madera o piedra; cada marca representaba un objeto observado. Así concibió la idea del número.

Y así comenzamos nuestro estudio del útil y maravilloso mundo de los números y las matemáticas:

1.1 Los Números Naturales ( ) Son un conjunto de números de la forma: = {1, 2, 3, 4, 5,…} Dicho de otra forma, cualquier número mayor que cero y sin decimales, es un número natural. Como por ejemplo: 1000000000 20 293848 137 4738271920 999999999 A continuación aprenderemos algunas propiedades de los números naturales:

1.1.1 Consecutividad numérica Sucesor: Todo número natural tiene un sucesor, y se obtiene sumando 1 al número, es decir: Si n pertenece a , su sucesor será n + 1. Es decir, si n es un número natural. Por ejemplo: Número natural n Sucesor (natural) n+1 35 36 1238 1239 237485 237486 1000000000 1000000001 999999 1000000

Antecesor: Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene al restar 1 al número, es decir: Si n pertenece a , su antecesor será n – 1. Número natural n Sucesor (natural) n-1 Por ejemplo: 35 34 1238 1237 237485 237484 1000000000 999999999 999999 999998 En resumen, podemos visualizar los números naturales como todos los números sin decimales a la derecha del cero en la recta numérica: Naturales Consecutivos n - 1 n n + 1 antecesor sucesor

1.1.2 Paridad e imparidad de los números naturales Este tema en realidad es muy fácil de comprender. Sin embargo, el hecho de incluirlo como tema de estudio en esta unidad es para mostrarte lo fácil que pueden ser las matemáticas si comienzas por el principio. Los Números Pares {2, 4, 6, 8, 10……, 2n} Son de la forma 2n, siendo n cualquier número natural. Sucesor par: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su sucesor es 2n+2. Antecesor par: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n, entonces su antecesor es 2n-2. 2n - 2 2n 2n + 2 Antecesor par Sucesor par

Números Impares {1, 3, 5, 7, 9…… ,2n-1} Son de la forma 2n-1, siendo n un número natural Sucesor impar: Se obtiene sumando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su sucesor es 2n +1. Antecesor impar: Se obtiene restando 2 al número. Si el número es 2n-1, entonces su antecesor es 2n -3. 2n - 3 2n - 2 2n -1 2n 2n + 1 Antecesor impar Sucesor impar Haz la prueba con cualquier número par o impar y comprobarás que las fórmulas son exactas. También puedes comprobar que la suma de dos números pares o dos números impares, da siempre como resultado un número par.

1.1.3 Múltiplos y Divisores Múltiplos: Divisores: Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene al multiplicar dicho número por otro cualquiera. Múltiplos: Por ejemplo: 5, 10, 15, 20 son múltiplos de 5, los cuales se obtienen de multiplicar 5x1, 5x2, 5x3 y 5x4, respectivamente. Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide exactamente. Divisores: (Es decir, cabe en él una cantidad exacta de veces) Por ejemplo: Los divisores de 24 son los números que lo dividen exactamente: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24} Nota: El 5, el 7 y todos los que faltan en la lista, no son divisores de 24, ya que, por ejemplo, al dividir 24 por 5 resulta 4.8 (La división no es exacta)

En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo. Te gustaría resolver divisiones entre números muy grandes sin la necesidad de usar la calculadora???? En el siguiente tema descubrirás la forma de hacerlo.

Criterios de divisibilidad Nos permiten visualizar cuándo un número es divisible entre otro sin efectuar la división. A continuación se enuncian algunos de ellos: Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 2. Un número entero es divisible entre 2 si termina en 0,2,4, u 8. Los números divisibles entre 2 se llaman pares. Por ejemplo: 20, 12, 114, 336 y 468 son divisibles entre 2, ya que terminan en 0,2,4, y 8, respectivamente

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 3. Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 51 es divisible entre 3, ya que 5+1=6 y 6 es múltiplo de 3 486 es divisible entre 3, ya que 4+8+6=18 y 18 es múltiplo de 3

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 4 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 4 si sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4. Por ejemplo: 900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0 628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 5 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 5 si su último dígito es 0 o 5. Por ejemplo: 5215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0, respectivamente.

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 6 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 6 si a su vez es divisible entre 2 y 3. Por ejemplo: 216 es divisible entre 2, ya que termina en 6, y es divisible entre 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible entre 6. 9000 es divisible entre 6, ya que es divisible entre 2 y 3.

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 7 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último dígito entre 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la diferencia es 0 o múltiplo de 7. Por ejemplo: 315 es divisible entre 7, ya que 5x2=10 y 31-10=21 y 21 es múltiplo de 7. 147 es divisible entre 7, porque 7x2=14 y 14-14=0.

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 8 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la derecha son 0 o forman un múltiplo de 8. Por ejemplo: 6000 es divisible entre 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0 3160 es divisible entre 8, porque sus últimos 3 dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 9 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 9 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 9. Por ejemplo: 1233 es divisible entre 9, ya que 1+2+3+3=9 y 9 es múltiplo de 9. 6786 es divisible entre 9, ya que 6+7+8+6 = 27 y 27 es múltiplo de 9

Criterios de divisibilidad Divisibilidad entre 10 Criterios de divisibilidad Un número entero es divisible entre 10 si su último dígito es 0. Por ejemplo: 360 es divisible entre 10, porque su último dígito es 0 2500 es divisible entre 10, ya que su último dígito es 0

Descomposición en Factores Primos Son aquellos números que son divisibles única y exclusivamente por 1 y por sí mismos. 1.1.4 Los Números Primos Entre ellos se encuentran: {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29…} Descomposición en Factores Primos La descomposición de un número en sus factores primos se realiza expresándolo como el producto de sus factores primos. Ejemplo: Expresar 144 como el producto de sus factores primos. 144 2 144 / 2 = 72 72 2 Para obtenerlo, se divide el número entre el menor divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir entre el menor divisor primo posible, y así sucesivamente hasta que el último cociente sea 1. 72 / 2 = 36 36 2 36 / 2 = 18 18 2 18 / 2 = 2 9 3 9 / 3 = 3 3 3 3 / 3 = 1 1 Por lo tanto, 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144 Nota: El 1 no es considerado número primo

1.1.5 Mínimo Común Múltiplo El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números, corresponde al menor de los múltiplos que tienen en común. Ejemplo: Algunos múltiplos de 3 son: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36,…, 60} Algunos múltiplos de 6 son: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48…, 60} Algunos múltiplos de 15 son: {15, 30, 45, 60, 75,…} El m.c.m. entre 3, 6 y 15 es 30. (Dentro de los múltiplos que tienen en común, 30 es el menor)

1.1.6 Máximo Común Divisor El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números, corresponde al mayor número que los divide simultáneamente. Ejemplo: -Los divisores de 36 son: {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} El M.C.D. entre 36, 18 y 24 es 6. (Dentro de los divisores que tienen en común, 6 es el mayor) -Los divisores de 18 son: {1, 2, 3, 6, 9, 18} -Los divisores de 24 son: {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Ejemplos sobre el cálculo del mcm y MCD

Determinar el mcm de 4 y 6 Múltiplos de 4: 4,8,12,16,20,24,28,32,36,… Los múltiplos comunes son: 12,24,38,48,… El menor de todos los múltiplos en común es 12 Por lo tanto, el mcm es 12

El m.c.m. entre 3, 6 y 15 se puede obtener también a través del siguiente método: Se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que los cocientes sean 1. Si alguno de los números no es divisible entre el factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida. El producto de los factores primos corresponde al m.c.m. 6 15 3 2 5 2 1 5 5 1 m.c.m. = 3 ∙ 2 ∙ 5 =30

Determinar el mcm de 28 y 42 28 42 2 14 21 7 3 1 28/2 = 14 42/2=21 28/2 = 14 42/2=21 14/2= 7 21/2=No es divisible y solo se baja 7/3=No es divisible y solo se baja 21/3= 7 7/7 = 1 7/7=1 2 * 2* 3* 7 = 84 El mcm de 28 y 42 es 84

Obtener el MCD de 18 y 24 Los divisores de 18 son: 1,2,3,6,9 y 18 Los divisores comunes son 1,2,3 y 6 El mayor de los divisores es 6 Por lo tanto, el MCD de 18 y 24 es 6

El M.C.D. entre 36, 18 y 24 se puede obtener a través del siguiente método: Se divide por números primos que sean divisores de cada número, hasta que ya no se pueda dividir a todos en forma simultánea. Cada factor debe dividir a todos los números a la vez. 36 18 24 2 18 9 12 3 6 3 4 M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obtener el MCD de 48,36 y 60 48 36 60 2 24 18 20 12 9 15 3 4 5 Se hace lo mismo que para el mcm. Recuerda que estos números deben ser siempre números primos. En este caso, 4,3 y 5 no tienen divisores primos en común. Así que 2 * 2 * 3 = 12 Por lo tanto, el MCD de 48, 36 y 60 es 12.

1.2. Números Enteros (Z) Z- Z+ Son todos los números positivos y negativos sin decimales. Es decir, un conjunto de la forma: Z = {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …} Se puede utilizar la recta numérica para representarlos: -3 -2 -1 1 2 3 Z- Z+

1.2.1 Valor absoluto: El valor absoluto de un número representa la distancia entre el punto sobre la recta numérica al que corresponde y el origen (cero de la recta numérica Por ejemplo, la distancia del 5 al origen es cinco unidades, igual que la distancia del -5 al origen. La notación es: |5| = 5 y |-5| = 5 -5 5 5 unidades Luego, |-20| = 20 |34| = 34 |-12| = 12…

1.2.2 Operaciones con números enteros (1/3) Al realizar sumas, restas, multiplicaciones y divisiones con números enteros, debemos considerar algunas reglas con respecto a los signos: Si a y b son números enteros entonces, se cumple que: a) a + -b = a – b Ejemplo: 5 + - 9 = 5 – 9 = -4 b) a – (-b) = a + b Ejemplo: 12 – (-8) = 12 + 8 = 20

1.2.2 Operaciones con números enteros (2/3) c) Al sumar enteros de igual signo, éste se mantiene. Ejemplo: 25 + 8 = +33 -5 + - 9 = -14 d) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferencia entre sus valores absolutos, conservando el signo del mayor de los números. Ejemplo: -10 + 7 = -3 75 + -9 = +66

1.2.2 Operaciones con números enteros (3/3) e) Si a y b son dos números enteros de igual signo, entonces: - El producto y el cociente entre ellos es positivo. Ejemplo: -42 * -8 = +336 -28 / -7 = +4 f) Si a y b son dos números enteros de distinto signo, entonces: - El producto y el cociente entre ellos es negativo. Ejemplo: 37 * -5 = -185 125 / -5 = -25

1.2.4. Potenciación 1.2.4.1 Definición an = a ∙ a ∙ … 73 = 7∙ 7∙ 7 = Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”. an = a ∙ a ∙ … ∙ a n veces Ejemplo: 73 = 7∙ 7∙ 7 = 343 (-6)2 = (-6)∙ (-6)= 36

-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y (-3)2 = (-3)·(-3) = 9 = 2 3 23 ya que: 2 3 = 8 27 ∙ = 23 3 2∙2∙2 8 y

1.6.2 Propiedades Multiplicación de Potencias: De igual base Se conserva la base y se suman los exponentes. an+m an ∙ am = Ejemplo: 5x ∙ 53x = 5x+3x = 54x

Se multiplican las bases, conservando el exponente. De igual exponente: Se multiplican las bases, conservando el exponente. (a ∙ b)n an ∙ bn = Ejemplo: 85 ∙ 42 ∙ 22 = 85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙ 82 = 87

División de Potencias: De igual base: Se conserva la base y se restan los exponentes. an-m an : am = Ejemplo: 923 96 = 923-6 = 917

(a : b)n an : bn = 75 : 42 282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73 De igual exponente: Se dividen las bases y se conserva el exponente. (a : b)n an : bn = Ejemplo: 75 : 42 282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

Potencia de Potencia: (an )m = am ∙ n (210)4 = 210 ∙ 4 = 2 40 Se multiplican los exponentes. (an )m = am ∙ n Ejemplo: (210)4 = 210 ∙ 4 = 2 40

Potencia de Exponente Negativo: Se invierte la base y se eleva al exponente positivo. Potencia de exponente negativo y base entera: 1 a-n = a n (Con a, distinto de cero) Ejemplo: 5-2 ∙ 15 3 2 = ∙ (5)2 5 2 1 = 25 1 ∙ 25 = 1

Potencia de exponente negativo y base fraccionaria: = n (Con a, distinto de cero y b distinto de cero) Ejemplo: 3 4 -3 = 3 4 = 3 = 4 64 27

Potencias de exponente cero: (para todo a, distinto de cero) 00 : indefinido Ejemplo: x 3 - 4y 7 – (15-8) x 3 - 4y = = 1

1.6.3 Potencias de base 10 Con exponente positivo: 100 = 1 101 = 10 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000… Ejemplo: 54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000 = 54 ∙ 106

Con exponente negativo: 10-1 = 10 = 1 0,1 10-2 = 100 = 1 0,01 1 1.000 = 10-3 = 0,001… Ejemplo: 4 100.000 = 0,00004 = 4 ∙ 10 -5

1.6.4 Signos de una potencia Potencias con exponente par: Las potencias con exponente par, son siempre positivas. Ejemplo: 1) (-11)2 = (-11) ∙ (-11) = 121 2) -3 5 4 = 5 (-3) 4 = 81 625

Potencias con exponente impar: En las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base. Ejemplo: 1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) = -1.728 2) -2 3 -5 = 3 -2 5 = (3) 5 (-2) = 243 -32 = 243 32 -

1.2.5 Prioridad en las operaciones Tanto en los números naturales como en los enteros, hay operaciones que tienen prioridad sobre otras. Existe un orden para resolver ejercicios como: -5 + 15 : 3 - 3 = ? ¿Qué se resuelve primero? El orden para ejecutar las operaciones que involucran paréntesis y operaciones combinadas es: 1° Paréntesis 2° Potencias 3° Multiplicación y/o división (de izquierda a derecha) 4° Adiciones y sustracciones

1.3 Números Racionales (Q) Es el conjunto de todos aquellos números que se pueden escribir como fracción, es decir: a b / a y b son enteros, y b es distinto de cero Q = a: se llama numerador y b: se llama denominador Ejemplos: 2; 17; 0; -6; -45; -1; 5 0.489; 2.18; -0.647 8 14; 4 Si un número tiene una cantidad finita de decimales, también es un número racional. 15 y cualquier número dividido por cero, NO son considerados números racionales

1.3.1 Amplificación y simplificación de fracciones Amplificar una fracción, significa multiplicar, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: Al amplificar la fracción por 6 resulta: 2 3 2 ∙ 3 ∙ 6 12 18 =

1.3.2 Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Simplificar una fracción, significa dividir, tanto el numerador como denominador por un mismo número. Ejemplo: Al simplificar la fracción por 3 resulta: 27 45 27 : 45 : 3 9 15 = 1.3.2 Inverso multiplicativo o recíproco de una fracción Ejemplo: 9 2 2 9 El inverso multiplicativo, o recíproco de es:

1.3.2 Suma y resta: Ejemplos: 1. Si los denominadores son iguales: 4 15 + 7 11 15 4 15 - 7 -3 15 = y = 2. Si uno de los denominadores es múltiplo del otro: 2 15 + 7 45 = 2∙3 + 7∙1 45 6 + 7 45 13 45 = =

3. Si los denominadores son primos entre sí: 4 5 + 7 8 = 4∙8 + 5∙7 40 32 + 35 40 67 40 = = 4. Aplicando mínimo común múltiplo (m.c.m.): 5 12 + 7 18 = 5∙3 + 7∙2 36 15 + 14 36 29 36 = =

1.3.3 Multiplicación y División Ejemplo: -4 5 7 8 = ∙ -28 40 = 28 40 - División: Ejemplo: -4 5 : 7 8 = -4 5 ∙ 8 7 = -32 35 = 32 35 - Número Mixto: Ejemplo: 3 5 = 8∙5 + 3 5 = 43 5 8

1.4 Números Irracionales (Q*) Son aquellos que NO se pueden escribir como una fracción (tienen una cantidad infinita de decimales y se dice que son NO periódicos). Q* = Q U Q*= Esto significa que ningún número racional puede ser al mismo tiempo un número irracional y viceversa.

1.5 Números Reales (R) R = Q U Q* Es el conjunto formado por la unión entre los números racionales y los números irracionales. Es decir, es el conjunto completo de números: naturales, enteros, racionales e irracionales. R = Q U Q* Ejemplos: 3, -89, -2; 7 2,18; 23,491002 Diagrama representativo: