PARAMETRIZACIÓN DE CURVAS PLANAS Calculo IV (Ing) Prof. Antonio Syers

Definiciones Una curva plana es un conjunto C de pares ordenados de la forma (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. x y (f(b),g(b)) C (f(a),g(a)) a b I

Definiciones Definición: Sea C Una curva que consiste en todos los pares ordenados (f(t),g(t)), donde f y g son funciones continuas en un intervalo I. Las ecuaciones Para t en I, se denominan ecuaciones paramétricas de C con parámetro t Veamos algnos ejemplos que puedan ilustrar estas definiciones

Círculo Ejemplo: Hallar las ecuaciones parámetrica del círculo de radio a P(x,y) a y  x

Elipse Calculemos ahora las ecuaciones paramétricas de la elipse Solución: De la gráfica tenemos que

Elipse a b O P(x,y) Q  M N

La Cicloide 1. La Cicloide Fije un punto P sobre la circunferencia de un círculo y déjelo rodar, sin resbalar, a través de una recta. Suponga que P está en el origen cuando el centro C está sobre el eje Y. La trayectoria descrita por el punto P se denomina Cicloide.

cicloide... r Veamos ahora la curva de manera continua

cicloide... Calculemos las ecuaciones paramétricas de la curva C N P(x, y) q r O L A Calculemos las ecuaciones paramétricas de la curva

De la gráfica se tiene que cicloide... De la gráfica se tiene que Pero, Por otra parte Así, De una manera análoga, Pero, Por lo tanto,

La Epicicloide 2. Epicicloide. Si un punto P es fijo sobre una circunferencia y esta circunferencia está rodando, sin resbalar, sobre otra circunferencia, la trayectoria descrita por el punto P se denomina Epicicloide

Epicicloide... O X Y Pasemos ahora a calcular sus ecuaciones.

Epicicloide... C R r N L M O q b X Y f Note que = p - P(x, y) A D

Epicicloide... De la figura : Pero, y además esto implica que Por otra parte, el arco AD = arco AP, por lo tanto arco AD = R, arco AP =r . Así, R = r, lo que equivale a Sustituyendo esto en x, resulta

de esta manera obtenemos: Epicicloide... Análogamente, , pero de esta manera obtenemos:

La Involuta 3. La Involuta. Considere una cuerda enrollada en la circunferencia de un círculo. Supóngase que el extremo final de la cuerda está en el punto L, como lo muestra la figura. Sujete este extremo de la cuerda u manténgalo tenso (tangente a la circunferencia) el punto final de la cuerda traza una curva llamada Involuta de círculo.

Involuta... O X Y

Involuta... Veamos ahora cual es la gráfica de manera continua, para luego calcular las ecuaciones de la curva. q Q E L B P( x , y) R A O X Y

Involuta... De la figura tenemos que como Además Así, Vamos a calcular la ecuación de y, sustituyendo el valor de AP , tenemos

La Bruja 4. La Bruja o curva de Agnesi. Dada la circunferencia , y su recta tangente y = 2a, se obtiene un punto P de la siguiente manera: Se elige un punto B de la circunferencia y se prolonga la cuerda OB hasta cortar a la recta y = 2a en el punto A. Tomemos el punto que tiene la abscisa de A y la ordenada de B. El conjunto de todos estos puntos se denomina Bruja o curva de Agnesi.

La Bruja... (0,a) a O

La Bruja... (0,a) a O L D P( x , y) C A B q

Por la gráfica podemos deducir que La Bruja... Calculemos las ecuaciones de la curva Por la gráfica podemos deducir que Por otra parte, como entonces