Optimización Luis Carlos Corral A.

Introducción En esta sección estudiamos la aplicación práctica de extremos de funciones (absolutos y relativos) mediante cálculo diferencial: ›el criterio de la primera derivada nos proporciona los puntos que podrían ser extremos (puntos críticos) y la monotonía de la función (creciente o decreciente). ›el criterio de la segunda derivada nos informa de si un punto crítico es un mínimo o un máximo (en caso de ser un extremo). No obstante, en ocasiones es más cómodo deducir la existencia de extremos y su tipo a partir de la monotonía de la función (por ejemplo, cuando el cálculo de la segunda derivada es arduo).

Sin embargo, ninguno de los dos criterios nos permite conocer si un extremo es un extremo absoluto o relativo. Deberemos deducirlo a partir de otros razonamientos como: el tipo de función: por ejemplo, si la función es una parábola, sabemos que el extremo será absoluto. Si la función es racional, tiende a (más/menos) infinito en los puntos de continuidad, por lo que los extremos no suelen ser absolutos. la existencia de otros extremos: por ejemplo, si existen dos mínimos, no pueden ser los dos mínimos absolutos (excepto que el valor de la función en dichos extremos sea el mismo). los límites de la función: por ejemplo, si la función tiene un mínimo pero tiende a menos infinito en algún punto, entonces no puede ser un mínimo absoluto.

Método de resolución

EXTREMOS 1.Estudiar el dominio. 2.Calcular la primera derivada. 3.Puntos críticos: puntos candidatos a ser extremos. Aquellos que anulan la primera derivada junto con los extremos de los intervalos de definición si la función está definida a trozos o en un intervalo cerrado. 4.Calculamos la segunda derivada. 5.Calculamos el signo de la segunda derivada en los puntos que anulan a la primera derivada: 1.Si es negativa, es un máximo. 2.Si es positiva, es un mínimo. 6.Para saber si los extremos de los intervalos de definición son extremos, estudiamos la monotonía alrededor de dichos puntos. DOMINIO DE LA FUNCIÓN

MONOTONÍA 1.Estudiamos el signo de la derivada en los intervalos del dominio que generan los puntos críticos. Para ello escogemos cualquier punto de cada intervalo (el signo de la derivada no varía en los intervalos): 1.Si es positiva: la función es creciente en el intervalo. 2.Si es negativa: la función es decreciente en el intervalo. 2.Los puntos de los intervalos de definición son: 1.Mínimo: si la función decrece a su derecha y crece a su izquierda. 2.Máximo: si la función crece a su derecha y decrece a su izquierda. 3.No es extremo: si la función crece o decrece a ambos lados (es decir, si la monotonía no cambia en dicho punto). ESTUDIA EL SIGNO DE LA DERIVADA

MAXIMIZAR Y MINIMIZAR Maximizar (por ejemplo, la ganancia de una empresa, la utilidad de un consumidor o la tasa de crecimiento de una empresa o de la economía de un país) Minimizar (por ejemplo, el costo total de producción conocido). La economía es en esencia una ciencia de elección, los criterios más utilizados son:

Económicamente, los problemas de maximización y minimización podríamos categorizarlos bajo el encabezado general OPTIMIZACIÓN Significa: “la búsqueda de lo mejor”.

OPTIMIZACIÓN EN MATEMÁTICAS Desde este punto de vista, matemático, los términos máximo y mínimo no conllevan ninguna connotación de optimización. Por lo tanto, el término colectivo para máximo y mínimo, como conceptos matemáticos, es la designación de un valor extremo.

Primer Paso para la Optimización Delinear una función objetivo en donde la variable dependiente representa el objeto de maximización o minimización; y el conjunto de variables independientes (variables de elección) indica las magnitudes para elegir la los valores óptimos de operación de la función. La esencia del proceso de optimización es hallar el conjunto de valores de las variables de elección que conducirán al extremo deseado de la función objetivo.

ESTATURA Y PESO Dependencia e independencia de las variables que conforman la función objetivo

Distinción entre variable dependiente e independiente ›Estás haciendo tareas domésticos para ganar tu mesada. Por cada tarea que haces obtienes $3. ›Compras cajas de galletas en una panadería. Cada caja de galletas cuesta $4. ›En un cuestionario ganas 5 puntos por cada pregunta que respondas correctamente. ›Por cada milla que corres, quemas 100 calorías. ›Haces una colecta de fondos para la investigación sobre el cáncer.

Ejemplos independent/e/complete-a-table-from-a-two-variable-equation independent/e/match-equations-to-coordinates-on-a-line independent/e/create-two-variable-equations-from-real-world-contexts

MÉTODO DE SOLUCIÓN ›Plantear la función f que debe optimizarse (maximizar o minimizar). ›Calcular la derivada de la función f. ›Buscar los puntos críticos de f igualando a 0 la derivada f ′. ›Estudiar la monotonía de la función (creciente o decreciente) en los intervalos que generan los puntos críticos para determinar el tipo de extremos (relativos o absolutos).

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