SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SOLUCIÓN del sistema es la n-pla (s1, s2, …, sn)  n tal que, sustituyendo cada xi por si, se hacen ciertas las igualdades. RESOLVER un sistema es decir si tiene solución o no, y en su caso, hallarlas. Según el número de soluciones que tienen, los sistemas se clasifican en: INCOMPATIBLES (S.I.), cuando no tienen ninguna solución. COMPATIBLES cuando tienen alguna solución. A su vez, éstos pueden ser: Compatibles determinados (S.C.D.) si tienen solución única. Compatibles indeterminados (S.C.I.) si tienen más de una solución.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Dos sistemas se denominan EQUIVALENTES si tienen las mismas soluciones. Si en un sistema de ecuaciones lineales se sustituye una ecuación por una combinación lineal de las otras, se obtiene otro sistema equivalente al primero. Si en un sistema de ecuaciones lineales se añade una ecuación que sea una combinación lineal de las otras, se obtiene otro sistema equivalente al primero. Si en un sistema de ecuaciones lineales, una ecuación depende linealmente de otras, se puede suprimir y el sistema resultante es equivalente al primero. El sistema puede escribirse matricialmente como A·X = C, donde La matriz A se denomina matriz principal del sistema y si le añadimos la columna de términos independientes, se obtiene una matriz B = [A|C] llamada matríz ampliada del sistema.

      SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Método de Gauss: Consiste en ir obteniendo sistemas equivalentes, reduciendo el número de incógnitas en cada ecuación (triangularización del sistema) hasta quedarnos con el menor número posible de incógnitas en la última ecuación. Ejemplo 1:  x + 1  1 = 1  x = 1  E2 – E1 E3 + E1  2 + 2z = 0  z = 1 S.C.D.  y = 1 Ejemplo 2:  E2 – 2E1 E3 – E1  E3 – E2 La tercera ecuación muestra una contradicción. S.I. Ejemplo 3:  E2 – E1 E3 – E1 E43E1  (1/4)E2 (1/2) E3 (1/8)E4  E3 – E2 E4  E2 Para cada valor de  habrá una solución distinta. S.C.I.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Forma matricial: Consiste en escribir el sistema en forma matricial y luego resolverlo multiplicando por la inversa de la matriz principal. Para ello, la matriz principal A, debe ser una matriz regular: AX = C  X = A1C Ejemplo: det(A) = 10 Por tanto: S.C.D.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODOS DE RESOLUCIÓN Un sistema en que la matriz principal es cuadrada y regular, se denomina sistema de Cramer. Estos sistemas se pueden resolver por la regla de Cramer: donde cada Ai se obtiene de sustituir la columna i-ésima de A por la columna de términos independientes. Ejemplo:  0. Por tanto es un sistema de Cramer.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CRITERIO DE COMPATIBILIDAD: TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Dado un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz principal es A y la matriz ampliada es B, el teorema de Rouché establece que el sistema es compatible si, y sólo si, r(A) = r(B) Visto con más detalle, podemos afirmar que: r(A)  r(B) SISTEMA INCOMPATIBLE (S.I.) r = n = nº de incógnitas S. C. DETERMINADO (S.C.D.) r(A) = r(B) = r SISTEMA COMPATIBLE (S.C.) r < n = nº de incógnitas S. C. INDETERMINADO (S.C.I.) Si el sistema es C.I., es decir, r < n, la solución dependerá de n – r parámetros. Si n – r = 1, el sistema se dice indeterminado uniparamétrico o con un grado de libertad; si n – r = 2, se llamará indeterminado biparamétrico o con dos grados de libertad, etc.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CRITERIO DE COMPATIBILIDAD: TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Ejemplos. Discute los siguientes sistemas: (I) (II) (III) Discutir un sistema es establecer, aplicando el teorema de Rouché, su compatibilidad. Estudiamos el rango de estas matrices. Un procedimiento cómodo, que nos permite estudiar las dos a la vez, puede ser el de triangularización. = F2 – 9F3 F1 + 2F3 = F2  F1 = F1 + 17F2 Es evidente, pues, que r(B) = 3, mientras que r(A) = 2  SISTEMA INCOMPATIBLE

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CRITERIO DE COMPATIBILIDAD: TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Ejemplos. Discute los siguientes sistemas: (I) (II) (III) Discutir un sistema es establecer, aplicando el teorema de Rouché, su compatibilidad. Pero también podríamos aplicar el método de los menores para estudiar los rangos de A y B. = 8  0  r(A) = 2 r(A) = 2  3 = r(B)  SISTEMA INCOMPATIBLE = 111  0  r(B) = 3

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CRITERIO DE COMPATIBILIDAD: TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS A Observamos que, en B, F4 = 2F1. Por tanto, |B| = 0 r(A ) = 3 = r(B) Por otra parte: = 7  0 S. C. DETERMINADO (S.C.D.)

(doble indeterminación: dos parámetros) SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CRITERIO DE COMPATIBILIDAD: TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Como el orden de la matriz es 5, conviene el método de triangularización. A  F3  3F1 F4 + 2F1 F5  F1  F2  F1  F3 = F2 F4 = 0 F5 = F3 r(A ) = r(B) = 2 < 4 S. C. INDETERMINADO (S.C.I.) 4  2 = 2 grados de libertad (doble indeterminación: dos parámetros)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS HOMOGÉNEOS Son sistemas en los que los términos independientes son todos nulos: Puesto que la matriz ampliada B sólo se diferencia de A en que tiene una columna más, pero toda de ceros, es obvio que r(A) = r(B) SIEMPRE. Se tiene, entonces, que: Un sistema lineal homogéneo es SIEMPRE COMPATIBLE Si r(A) = r(B) = nº de incógnitas es S.C.D. y el sistema sólo admite la llamada SOLUCIÓN TRIVIAL: x1 = x2 = ··· = xn = 0. Si r(A) = r(B) < nº incógnitas es S.C.I. y tendrá soluciones distintas de la solución trivial.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS HOMOGÉNEOS Ejemplos. Discute los siguientes sistemas: (I) (II) r(A)  2 A Orlamos este menor de orden 2 con la tercera columna y tercera fila: cuarta Por tanto: r(A) = 2 < 3 = nº de incógnitas  S.C. I. (1 grado de libertad: mono-indeterminado)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS HOMOGÉNEOS Ejemplos. Discute los siguientes sistemas: (I) (II) r(A) = r(B) = 3 = nº de incógnitas Por tanto tenemos un S.C.D.: Sólo existe la solución trivial x = y = z = 0

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS Cuando algunos de los coeficientes de un sistema son valores indeterminados (parámetros) se dice que tenemos un sistema dependiente de parámetros. En tal caso, la compatibilidad del sistema, como es obvio, dependerá de los valores de dichos parámetros. Ejemplo 1: Discute y resuelve el siguiente sistema en función del parámetro a Comenzaremos por calcular el determinante de A: Nos interesa saber para que valores del parámetro a se cumple |A| = 0: |A| = 0  1 – a2 = 0  a = 1 ó a = 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS Ejemplo: Discute y resuelve el siguiente sistema en función del parámetro a |A| = 0  1 – a2 = 0  a = 1 ó a = 1 Comenzamos ahora la discusión del sistema: Caso I: a  1 y a  1 En este caso |A|  0  r(A) = r(B) = 3 = nº incógnitas  S. C. D. Caso II: a = 1 r(A) = r(B) = 2 < 3 = nº incógnitas  S. C. I. (1 g. l.) Caso III: a = 1 Observamos que las ecuaciones 1 y 3 son contradictorias, por lo que S.I. Pero si queremos seguir el estudio aplicando el teorema de Rouché, observamos que: r(A)  r(B)  S. I.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS Ejemplo: Discute y resuelve el siguiente sistema en función del parámetro a Procederemos después a la resolución del sistema en los casos en que sea compatible: Caso I: a  1 y a  1: S.C.D. Podemoms aplicar el método de Cramer: |A| = 1 – a2 = (a + 1)(a2 + a – 3)

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS Ejemplo: Discute y resuelve el siguiente sistema en función del parámetro a Caso II: a = 1: S. C. I. (1 g. l.) Las dos últimas filas son iguales: Eliminamos una. Elegimos como incógnitas principales las correspondientes un menor no nulo. sumamos las dos ecuaciones: 2y = 5 – 2z  Despejamos ahora x, de la segunda ecuación: x = 1 – z – y = Si hacemos z = t, la solución puede expresarse: Obtendremos una solución para cada valor que demos a t (1 grado de libertad) .

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS DEPENDIENTES DE PARÁMETROS Ejemplo 2: Estudia la compatibilidad del siguiente sistema según los valores del parámetro k GAUSS Caso I: k  0  k  2  k  3 r(A) = r(B) = 3 = nº de incógnitas  S.C.D. Caso II: k = 0 F3 = 2F1 – F2; Por tanto: r(A) = r(B) = 2 < nº de incógnitas  S.C.I. Caso III: k = 2 F2 = F3 en A, pero no en B r(A) = 2  3 = r(B)  S.I. Caso IV: k = 3 r(A) = 2  3 = r(B)  S.I.

Fin de S.E.L.