PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Señales matemáticas 2018 Clases expositivas en diapositivas animadas . Realización : Prof. LUIS ERNESTO FIORANTE Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Derivabilidad de campos escalares o vectoriales Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Consideramos un vector (director) no nulo v = (u,v) que promueve un subconjunto incluido en un entorno y el Dominio. Es importante tener presente que este subconjunto este incluido en el Dominio del campo Cada vector (x,y) del subconjunto se determinan por el vector y el parámetro h PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Cada vector del subconjunto es (x,y) = (a,b) + h (u,v) = (a+h.u , b+h.v) Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

Derivada (primera) de f en (a,b) respecto de (u,v)_ un vector no nulo. PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Desarrollamos el cociente de variaciones c(h) Determinamos el limite del cociente de variaciones c(h) Si el limite existe ,este escalar o vector se denomina Derivada (primera) de f en (a,b) respecto de (u,v)_ un vector no nulo. Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Decimos que un campo escalar o vectorial es derivable en ā , si existen todas las derivadas respecto de todos los vectores, no el nulo : Dado lo indicado decimos que el campo : f es derivable en ā (elemento interior del Dominio). La derivabilidad de los campos Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Las derivadas respecto de versores se denominan derivadas direccionales : En el conjunto infinito de versores se distinguen los canónicos , las derivadas direccionales respeto de los versores canónicos se denominan PARCIALES . Para las Derivadas Parciales se usan las notaciones Derivadas distinguidas de los campos Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

EJEMPLIFICAMOS Sean tres campos : Determinemos la existencia de las derivadas respecto de un vector en el elemento indicado : PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR en ( 1 , 0 ) en ( 2 , 2 ) en ( 0 , 0 ) EJEMPLIFICAMOS Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Estudiamos la derivabilidad, deduciendo el cociente de variaciones en (1,0) respecto de cualquier vector (u,v). Determinemos el limite del cociente de variaciones cuando h  0 . v  0 v = 0 Ya que existen las derivadas en el elemento interior (1,0) respecto de todos los vectores (no el nulo) , se concluye que el campo vectorial f es derivable en (1,0) y Profesor Luis Ernesto Fiorante

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Lo planteado nos conduce a obtener dos expresiones diferentes según que el vector director ( u , v ) presente como condición de sus componentes : u  v ó u = v . Cada vector (x,y) del subconjunto se determina por un vector y el parámetro Analizamos que vector (u,v) implica los (x,y) que cumplen que x – y = 0 Todos los otros vectores (u,v) con u  v determinan (x,y) donde x – y  0 PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

(x,y) = (2,2) + h(u,v) = (2+hu , 2+hv) PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Profesor Luis Ernesto Fiorante Determinamos el limite del cociente , que nos conducira a obtener las derivadas respecto de los vectores. Deducimos el cociente de variaciones en (2,2) respecto de todos los vectores (u,v) ,no el nulo. (x,y) = (2,2) + h(u,v) = (2+hu , 2+hv) u  v u = v Se concluye que en el elemento interior el campo escalar g es derivable en (2,2) y

PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Lo planteado nos conduce a obtener dos expresiones diferentes del cociente según que el vector director ( u , v ) presente como condición de sus componentes : 3 u  v ó 3 u = v . Cada vector (x,y) del subconjunto se determina por un vector y el parámetro Analizamos que vector (u,v) implica los (x,y) que cumplen con 9x2 – y2 = 0 Los otros vectores (u,v) tal que 3u v , originan (x,y) donde 9x2 – y2  0 . PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019 Profesor Luis Ernesto Fiorante

(x,y) = (0,0) + h(u,v) = ( hu , hv ) Se concluye que en el elemento interior (0,0) el campo escalar j no es derivable en (0,0) , pues no existen las derivadas respecto de vectores (u,v) con 3  u    v  , y si existen : Determinamos el limite del cociente , que nos conducira a obtener las derivadas respecto de los vectores. Deducimos el cociente de variaciones en (0,0) respecto de todos los vectores (u,v) ,no el nulo. (x,y) = (0,0) + h(u,v) = ( hu , hv ) PRESIONE CUALQUIER TECLA PARA CONTINUAR 3  u    v  3  u  =  v  no existe el limite Con u cero o no, se infiere que tiende a infinito (   ) Profesor Luis Ernesto Fiorante

Ahora lo que sigue es tu voluntad de estudiar y ejercitar el tema. HASTA PRONTO … Ahora lo que sigue es tu voluntad de estudiar y ejercitar el tema. martes, 19 de febrero de 2019 2018 . Profesor Luis Ernesto Fiorante 19/02/2019