Suma y diferencia de dos funciones 1 Suma y diferencia de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: Suma: (f + g) (x) = f(x) + g(x). Por tanto: Dom(f + g) = Dom(f)  Dom(g) Diferencia: (f - g) (x) = f(x) - g(x). Por tanto: Dom(f - g) = Dom(f)  Dom(g) f(x) f(x) + g(x) g(x) x Final

2 Función opuesta Si f es una función, se define su función opuesta -f de la siguiente forma: (-f)(x) = - f(x) siendo el dominio de -f el mismo que el de f y = f(x) y =- f(x) (x, f(x)) Dom (-f) Dom (f) (x, -f(x)) Final

Valor absoluto de una función 3 Valor absoluto de una función Si f es una función, se define el valor absoluto de f, |f|, como: |f|(x) = |f(x)|, para todo x que pertenece al dominio de f. Conocida la gráfica de y = f(x), ¿cómo construir la gráfica de y = |f(x)|? y = f(x) y = |f(x)| Simetrizamos las partes negativas respecto al eje OX puntos con imagen negativa Final

Producto y cociente de dos funciones 4 Producto y cociente de dos funciones Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones se define: Producto: (f . g) (x) = f(x) . g(x). Por tanto: Dom(f . g) = Dom(f)  Dom(g) Dadas dos funciones f y g, para todo x que pertenece al dominio de ambas funciones y g(x)  0 se define: Cociente: (f / g) (x) = f(x) / g(x). Por tanto: Dom(f / g) = Dom(f)  Dom(g) - {x  R : g(x)  0} Final

Composición de funciones 5 Composición de funciones La función h(x) = (2x - 1)2 es la composición de dos funciones: g(x) = 2x-1 y f(t) = t2 R g R f Final x 2x-1 = t t2 = (2x-1)2 x (2x-1)2 h(x) = f(g(x)) = f(2x-1) = (2x - 1)2 = (f o g)(x) Dominio de la composición de funciones R R R g f Rec(g) El dominio de fog está formado por los x tales que x está en el dominio de g g(x) está en el dominio de f Dom(f) Dom(g) Rec(fog) Rec(f) Dom(fog)

6 Funciones inyectivas Un función f tiene la propiedad de la recta horizontal en un dominio D, si para todo valor c del recorrido de la función, la recta y = c corta a la gráfica de f en un solo punto. f no tiene la propiedad de la recta horizontal f tiene la propiedad de la recta horizontal Formulación algebraica de la propiedad de la recta horizontal: una función f es inyectiva en D si para a,b  D tal que f(a) = f(b) se tiene que a = b Final

Función inversa Si f inyectiva, la función inversa f, escrita f -1, satisface x = f -1(y)  y = f(x) Como consecuencia: El dominio de f es el recorrido de f -1 El recorrido de f -1 es el dominio de f Si (x, y) está sobre la gráfica de y = f(x), (x, y) está sobre la gráfica de f -1. Por tanto las gráficas de ambas funciones son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante. Final (x, f(x)) (f(x), x) f -1(x) (x, f(x)) (f(x), x) f -1(x) f(x) f(x)

8 Funciones acotadas Una función y = f(x) está acotada superiormente (inferiormente) en un conjunto D si existe un número M (m) tal que f(x)  M (m  f(x)) para todo x de D. Se dice que M (m) es una cota superior (inferior). Una función acotada superior e inferiormente se dice que está acotada M' es cota superior de f(x) en D = R M'' es cota superior de f(x) en D = R S El supremo S, es la menor de las cotas superiores y = f(x) El ínfimo I, es la mayor de las cotas inferiores I m' es cota inferior de f(x) en D = R m'' es cota inferior de f(x) en D = R y = g(x) y = f(x) está acotada y = g(x) no está acotada Final

Crecimiento y decrecimiento de una función 9 Crecimiento y decrecimiento de una función y f(y) x f(x) y x f(y) [ a ] b f(x) [ a ] b Función creciente en [a, b] Función decreciente en [a, b] Final f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b] f(x) < f(y) para todo x e y de [a, b]

Máximo y mínimo de una función 10 Máximo y mínimo de una función El máximo de una función f en D es el mayor de los valores que toma f en D. El mínimo de una función f en D es el menor de los valores que toma f en D. Máximo, de valor S en el punto s, de f(x) en el conjunto D s S D t T Mínimo, de valor T en el punto t, de f(x) en el conjunto D Final