GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN GENERAL Y PUNTO-PENDIENTE U. D. 9.5 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN GENERAL ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo -------- = -------- a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b.(x – xo) = a.(y - yo) b.x – b.xo = a.y – a.yo b.x – a.y – b.xo + a.yo = 0 Renombrando coeficientes queda: r: A.x + B.y + C = 0 Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b.xo + a.yo Como un vector director era v=(a,b), ahora será v=(-B, A) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: Ejemplo 1 Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x - 3 y + 2 -------- = -------- 2 - 5 Operando en la proporción: - 5.(x – 3) = 2.(y + 2) - 5.x + 15 = 2.y + 4  - 5.x – 2.y + 15 – 4 = 0  5.x + 2.y – 11 = 0 Ejemplo 2 Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - xo y – yo x – (- 2) y – (- 4) -------- = -------- ; ----------- = ----------- a b 3 2 Operando en la proporción: 2.(x +2) = 3.(y + 4) 2.x + 4 = 3.y + 12  2.x – 3.y + 4 – 12 = 0  2.x – 3.y – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE ECUACIÓN PUNTO - PENDIENTE DE LA RECTA Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - yo -------- = --------  Despejamos y - yo a b b. ( x - xo ) b y – yo = ---------------- ; y - yo = ----- ( x - xo ) a a Como m = b / a es la pendiente de la recta, tenemos: r: y - yo = m. ( x - xo ) Ecuación que, para su empleo, exige conocer la pendiente de la recta, m y un punto A(xo , yo ) por donde pase. Pero si nos dan un vector director v = (a,b), sabemos que m = b / a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar la ecuación punto pendiente de la recta: Ejemplo 3 Hallar la ecuación punto pendiente de la recta: (x – 4) / 3 = (y + 5) / 2 De la ecuación dada obtenemos un punto A de la recta y su vector director: A(4, - 5) y v=(3, 2) La pendiente es m= b/a = 2 / 3 La ecuación punto-pendiente será: y - yo = m.( x – xo )  y + 5 = (2/3). ( x – 4) Ejemplo 4 Hallar la ecuación punto-pendiente de una recta cuya ecuación general es x + y = 0 En la ecuación general dada: A= 1, B=1 y C=0 La pendiente m de la recta es m = A / (-B) = 1 / (-1) = -1 Un punto de la recta es el A(3, -3)  y + 3 = - 1. ( x – 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

ECUACIÓN EXPLÍCITA Si partimos de la ecuación general: A.x + B.y + C = 0 y despejamos “y” , queda: y = (- A.x + C) / B = ( - A / B).x + ( C / B) Renombrando coeficientes queda: r: y = m. x + n Pues m = - A / B y n = C / B, que es la ordenada en el origen. Si partimos de la ecuación punto-pendiente y despejamos y, queda: y - yo = m. ( x - xo )  y = m. x – m.xo + yo Llamando n a la expresión de valor conocido (– m.xo + yo ) queda: r: y = m. x + n @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

Hallar la ecuación explícita de una recta si su ecuación continua es: Ejemplo 5 Hallar la ecuación explícita de una recta si su ecuación continua es: x - 1 y + 3 -------- = -------- - 2 3 Operamos para despejar y, quedando: 3.(x - 1) = - 2.(y + 3)  3.x – 3 = - 2.y – 6  2.y = - 3.x – 3 y = (-3 / 2).x + (- 3 / 2) , donde m = - 3 / 2 y n = - 3 / 2 Ejemplo 6 Hallar la ecuación explícita de una recta cuya ecuación paramétrica es: x = t y = 3 – 5.t Despejando t en ambas: t = x , t = (y – 3) / (- 5) Igualando ambas: x = (y – 3) / (- 5)  - 5.x = y – 3 Despejando finalmente y queda: y = - 5.x + 3 , donde m = - 5 y n = 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.