ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 2/18/2019 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS PROBLEMA DE VALORES INICIALES
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Escriba aquí la ecuación. 2/18/2019 1−𝜆 𝑡 1 +𝜆 𝑡 2 , 1−𝜆 𝑦 1 +𝜆 𝑦 2
2/18/2019 𝑦 ′ 𝑡 =𝑓 𝑡,𝑦 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑦 𝑎 = 𝑦 0
𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑧 +𝛿 𝑡 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑧 𝑎 =𝛼+ 𝜀 0 (1) 𝑦 ′ =1+𝑡𝑠𝑒𝑛 𝑡𝑦 , 0≤𝑡≤2 𝑦 0 =0 2/18/2019 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑦 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑦 𝑎 =𝛼 𝑑𝑧 𝑑𝑡 =𝑓 𝑡,𝑧 +𝛿 𝑡 , 𝑎≤𝑡≤𝑏 𝑧 𝑎 =𝛼+ 𝜀 0 (1)
𝑧 𝑡 −𝑦 𝑡 <𝑘𝜀 ∀𝑡∈ 𝑎,𝑏 2/18/2019
Mostrar que el problema de valores iniciales Ejemplo: Mostrar que el problema de valores iniciales 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, 0≤𝑡≤2 𝑦 0 =0.5 Está bien planteado en el dominio 𝐷= 𝑡,𝑦 |0≤𝑡≤2, 𝑦∈𝑅 2/18/2019
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𝒚 𝒊 ≅𝒚 𝒕 𝒊 El método de Euler consiste en aproximar 𝒚 𝒊 ≅𝒚 𝒕 𝒊 Por lo tanto encontramos la ecuación de diferencias asociada al método de Euler: 𝒚 𝒊+𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝒉𝒇 𝒕 𝒊 , 𝒚 𝒊 ∀𝒊=𝟎,⋯,𝑵−𝟏 𝒚 𝒂 = 𝒚 𝟎 2/18/2019
2/18/2019 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, 0≤𝑡≤2 𝑦 0 =0.5 ℎ=0.5 𝑓 𝑡,𝑦 =𝑦− 𝑡 2 +1
2/18/2019 𝑓 𝑡 𝑖 , 𝑤 𝑖 ≅ 𝑦 ′ 𝑡 𝑖 =𝑓 𝑡 𝑖 ,𝑦 𝑡 𝑖
Se ilustra el método de Euler con h=0.5 del problema bien planteado 2/18/2019 Se ilustra el método de Euler con h=0.5 del problema bien planteado 𝑑𝑦 𝑑𝑡 =𝑦− 𝑡 2 +1, 0≤𝑡≤2 𝑦 0 =0.5 Cuya solución real es: 𝒚 𝒕 = 𝒕+𝟏 𝟐 −𝟎.𝟓 𝒆 𝒕
Si achicamos el paso, h=0.2 0btenemos: 𝒚 𝒊+𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝒉 𝒚 𝒊 − 𝒕 𝒊 𝟐 +𝟏 = 𝒚 𝒊 +𝟎.𝟐 𝒚 𝒊 −𝟎.𝟎𝟒 𝒊 𝟐 +𝟏 =𝟏.𝟐 𝒚 𝒊 −𝟎.𝟎𝟎𝟖 𝒊 𝟐 +𝟎.𝟐 Observamos que el error no decrece sino que aumenta con el número de iteraciones 2/18/2019 𝒕 𝒊 𝒘 𝒊 𝒚 𝒊 =𝒚 𝒕 𝒊 𝒚 𝒊 − 𝒘 𝒊 0.0 0.5 0.2 0.8 0.8292986 0.0292986 0.4 1.152 1.2140877 0.0620877 0.6 1.5504 1.6489406 0.0985406 1.998848 2.1272295 0.1387495 1.0 2.458176 2.6408591 0.1826831 1.2 2.9498112 3.1799415 0.2301303 1.4 3.4517734 3.7324 0.2806266 1.6 3.9501281 4.2834838 0.3333557 1.8 4.4281538 4.8151763 0.3870225 2.0 4.8657845 5.305472 0.4396874 Siendo 𝑤 𝑖 la solución real
2/18/2019 Entonces la sucesión de los 𝑦 𝑖 generada por el método de Euler produce la acotación: 𝑦 𝑡 𝑖 − 𝑦 𝑖 ≤ ℎ𝑀 2𝐿 𝑒 𝐿 𝑡 𝑖 −𝑎 −1
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