LOS PENTOMINÓS Conexión matemática en el crie venta del olivar Un curioso rompecabezas

Pero… y esto, ¿de dónde viene? El Juego de los Pentominós es un rompecabezas geométrico cuyas piezas (llamadas pentominós) son las figuras planas formadas por cinco cuadrados (del griego: penta) unidos de forma que tengan, por lo menos, un lado en común. Pero… y esto, ¿de dónde viene?

Origen de los pentominós Aunque los poliominós ya existían con anterioridad, como figuras geométricas, el término “poliominó” fue acuñado por el matemático norteamericano, Solomon W. Golomb en 1953, poniendo especial atención a los pentominós. En 1957, la revista Scientific American publicó el primer artículo ¨Checker Board and Polyominoes¨ (Tableros de Damas y Poliominós). Golomb definió los poliominós como figuras geométricas planas formadas conectando dos o más cuadrados por alguno de sus lados, como las configuraciones que recubren cuadros adyacentes de un tablero de ajedrez, de tal modo que no queden huecos en el interior de la estructura restante y cada uno de ellos tienen un lado en común por lo menos. Desde entonces el juego se ha convertido en un pasatiempo muy popular.

Resumiendo… Un poliominó es una figura geométrica compuesta por varias figuras geométricas iguales unidas por sus lados. Un pentominó es una poliforma de la clase poliominó compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados.

¿Pero cuántos tipos de poliominós existen?

Muchos!! Entre otros existen… Monominós Soy la cosa más sosa del mundo Binominós ¿El bi-minó tendrá algo que ver con el do-minó? Triminós Yo me hice famoso con el TETRIS Tetraminós Pentominós Hoy jugaréis conmigo También existen Hexaminós, Heptaminós, ….

¿Pero dentro de cada familia de poliominós … ¿cuántas figuras existen? Vamos a averiguarlo!!

POLIOMINÓS CON DOS CUADRADOS (BINOMINÓS). Si abordamos el caso de poliominós elaborados con dos cuadrados, esto es fácil, ¿no? Sólo uno, y resulta que el nombre popular hasta lo conocemos todos, el Dominó. POLIOMINÓS CON TRES CUADRADOS (TRIMINÓS) Pasemos a un caso un poco más complejo. Probamos con poliominós elaborados a partir de tres cuadrados. ¿De cuántas maneras se pueden unir tres cuadrados? ¿Cuántos triminós existen? Coge un papel cuadriculado e investiga.

Problema 1: ¿Cuántos trinominós existen? Sólo dos trinominós. En realidad, son la misma figura… Hasta aquí fácil, ¿no? Pues vamos a por más!!

¿De cuántas maneras se pueden unir cuatro cuadrados? PROBLEMA 2 : TETRAMINÓS Pasemos a un caso un poco más complejo. Probamos con los Tetraminós elaborados a partir de cuatro cuadrados. ¿De cuántas maneras se pueden unir cuatro cuadrados? Coge un papel cuadriculado e investiga. Una pista. Son las piezas del Tetris. Cuidad de no repetir una figura por rotación o por simetría!!

Efectivamente, hay cinco tetraminós

Con los tetraminós, dos matemáticos rusos crearon el Tetris, pero para ello, usaron 7 piezas, repitiendo las dos que tienen simetrías diferentes. El Tetris es un juego que ha cautivado a muchas generaciones de jugadores.

Coge un papel cuadriculado e investiga. PROBLEMA 3: POLIOMINÓS CON CINCO CUADRADOS (PENTAMINÓS). Pasemos a un caso todavía más difícil. Ya hemos visto que hay dos triminós, cinco tetraminós. Pero…¿De cuántas maneras se pueden unir cinco cuadrados? Coge un papel cuadriculado e investiga. Cuidad de no repetir una figura por rotación o por simetría!! Por ejemplo, las 8 combinaciones de Y serían:

UNA AYUDA PARA ENCONTRAR LOS PENTAMINÓS Los 12 pentominós se pueden conseguir a partir de uno de ellos moviendo uno de los cinco cuadros a otra posición en un círculo sin fin. * De la barra recta salen dos. * De la L salen seis. * De la T salen dos. * De la “Silla” de Tetris salen otros dos.

. ¿Cuántos Pentominós te han salido? Efectivamente, 12, ni uno más ni uno menos. El matemático estadounidense Golomb, los bautizó con una letra de apariencia similar para referirnos a ellos. Si te fijas, podemos leer “Filipino” y las 7 últimas letras del abecedario. F I L P N T U V W X Y Z .

. ¿Cuántos Pentominós te han salido? Es interesante señalar las diferentes variaciones que pueden obtenerse: L, N, Y, P y F pueden orientarse de 8 formas: 4 por rotación y 4 por simetría axial. Z puede orientarse de 4 formas: 2 por rotación y 2 más por simetría axial. T, V, U y W pueden orientarse de 4 formas por rotación. I puede orientarse de 2 formas por rotación. X sólo puede orientarse de una forma. Si se tienen en cuenta los pentominós obtenidos mediante simetría axial como pentominós diferentes tendríamos un total de 18. Esto tiene importancia en algunos juegos de ordenador, tipo Tetris, en los que no se pueden girar las figuras por simetría. Al pentominó F también se lo conoce como pentominó R, en referencia al juego de la vida de Conway. .

Resumiendo… Monominós Biminós (Dominó) Triminós Tetraminós (Tetris) PENTAMINÓS (Nuestro juego) Resumiendo…

¿Jugamos un poco? Un juego básico es intentar ordenar todas las piezas formando un rectángulo. Pero es algo complicado, así que empezaremos por algo más sencillo. Resuelve este primer tablero de 4x4. Con sólo tres piezas. Puedes elegir las que quieras.

PROBLEMA 4 : Prueba sólo con estas tres piezas: V, Z, N.

PROBLEMA 4 bis : Prueba sólo con estas tres piezas: V, Z, N.

PROBLEMA 5 : Probamos ahora con X, U y L

PROBLEMA 5 : También es posible con mas figuras.

¿Jugamos un poco? Probamos ahora con un rectángulo pequeño, de 3x5. Con las fichas que quieras… Hay muchas soluciones posibles… Prueba con: FUP, LTY, VPU, PUY, LNV

PROBLEMA 6 : Rectángulo pequeño, de 3x5: Prueba con F, U y P

PROBLEMA 6 : Rectángulo pequeño, de 3x5. Prueba con F, U y P…

PROBLEMA 7 : Rectángulo pequeño, de 3x5. Prueba con N, U y P…

PROBLEMA 7 : Rectángulo pequeño, de 3x5. Prueba con N, U y P…

PROBLEMA 8 : Rectángulo pequeño, de 3x5. Prueba con T, L Y…

PROBLEMA 8 : Rectángulo pequeño, de 3x5. Prueba con T, L Y…

Todos tienen la misma superficie. CONOCIENDO LOS PENTAMINÓS Todos tienen la misma superficie. ¿pero todos tienen el mismo perímetro? ¿Tienen el mismo nº de lados?

PROBLEMA 9 : Rectángulo de 4x5. Prueba con T, L, Y, P

PROBLEMA 9 : Rectángulo de 4x5. También es posible con TLYP, YPUI, YVLP,

PROBLEMA 10 : Con estas cinco fichas, resuelve estas figuras:

PROBLEMA 10 : Con estas cinco fichas, resuelve estas figuras:

PROBLEMA 11 : JUEGOS POR PAREJAS Uno de la pareja, retira tres fichas, y el compañero debe restaurar la figura.

PROBLEMA 12 : JUEGOS POR PAREJAS Sobre el tablero de ajedrez de 8x8, cada uno va poniendo una pieza. Gana el que ponga más piezas..

PROBLEMA 13 : REALIZANDO FIGURAS Al estilo del Tangram, es posible representar dibujos… Prueba alguno.

¿Jugamos un poco? Un juego básico es intentar ordenar todas las piezas formando un rectángulo. Y aunque hay varias propuestas de rectángulo, y para cada una de ellas muchas soluciones diferentes, es algo complicado. 6x10, 2239 soluciones posibles. 5x10, 1010 soluciones posibles. 4x15, 368 soluciones posibles. 3x20, Sólo 2 soluciones posibles.

PROBLEMA 14 : Resuelve el rectánculo de 6 x10, puedes hacerlo en dos de 5x6

CONSEJOS Coloca primero las piezas más complicadas: X y W. A menudo ocurrirá que resulta mejor dejar hasta el final los pentominós asimétricos, ya que cuando llegue el momento de acomodarlos habrá un mayor número de maneras diferentes de ponerlo: F, L, N, P e Y

PROBLEMA 15 : Rectángulo de 8x8. Tablero de Ajedrez Aunque basado en el ajedrez, dado que son 12 piezas de cinco cuadrados, es imposible completar un tablero cuadrado de ajedres de 8x8, pero sí es posible hacerlo dejando un cuadrado dentro. Incluso es posible mover la situación de ese cuadrado.

¿Jugamos un poco? Cualquier pieza de los pentominós se puede duplicar utilizando cuatro piezas restantes. Busca alguna solución.

¿Jugamos un poco? También es posible triplicar una pieza usando nueve de las piezas restantes.

CURIOSIDADES DE LOS poliominós… Monominós: Formados por un solo cuadrado. Sólo hay uno. Dominós: Formados por dos cuadrados. Sólo hay uno. Triminós: Formados por tres cuadrados. Sólo hay dos. Tetraminós: Formados por cuatro cuadrados. Existen 5 diferentes. Pentaminós: Formados por cinco cuadrados. Existen 12 diferentes. Hexaminós: Formados por seis cuadrados. Existen 35 diferentes. Heptáminós: Formados por siete cuadrados. Existen 108 diferentes. Octaminós: Formados por ocho cuadros. Existen 369 diferentes.