ECUACIONES SISTEMAS INECUACIONES

ECUACIÓN: Igualdad entre dos expresiones en las que aparecen números y letras ligados por operaciones. Si sólo aparecen operaciones algebraicas (suma-resta, multiplicación-división, potencia-radicación) la ecuación se denomina algebraica. En otro caso decimos que la ecuación es trascendente. [1] [2] SISTEMA DE ECUACIONES: Conjunto de ecuaciones que tiene las mismas soluciones. [3] [4] INECUACIÓN: Desigualdad entre dos expresiones en las que aparecen números y letras ligados por operaciones. [6] [5] 2x + 3 < 5 – x

SOLUCIONES: Valores que pueden tomar las variables de manera que las igualdades o desigualdades sean ciertas. [1] x = 2 es solución porque [2] x = 2 es solución porque 32·2 + 1 = 35 = 243 [3] x = 2, y = 1 es solución porque 2·2 + 1 = 5 = 2 + 3·1 [4] x = 2, y = 1 es solución porque 2 + 1 = 3 y log2 + 3log1 = 0,3010 [5] 2x + 3 < 5 – x Son soluciones todos los números reales menores que 2/3

CLASIFICACIÓN COMPATIBLE: Una ecuación / sistema se dice compatible si tiene solución. COMPATIBLE DETERMINADO: La solución es única. COMPATIBLE INDETERMINADO: Hay más de una solución. INCOMPATIBLE: Una ecuación / sistema se dice incompatible si NO tiene solución. x + y = 2 es una ecuación COMPATIBLE INDETERMINADA porque admite infinitas soluciones: (1, 1); (0, 2); (2, 0); (0,5, 1,5); (, 2 – ); … Es un sistema INCOMPATIBLE: Dos números no pueden sumar 2 y 7. Es un sistema COMPATIBLE INDETERMINADO: La segunda ecuación no aporta nada puesto que es el triple de la primera.

EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, SISTEMAS E INECUACIONES Dos o más ecuaciones / inecuaciones / sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtiene una ECUACIÓN equivalente: Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros. Si se multiplica o divide por el mismo número, distinto de cero, a los dos miembros Son equivalentes: 2x + 3 = 5 – x 3x + 3 = 5 (Sumamos x a cada miembro) 3x = 2 (Restamos 3 a cada miembro) x = 2/3 (Dividimos por 3 cada miembro)

EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, SISTEMAS E INECUACIONES Dos o más ecuaciones / inecuaciones / sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtiene un SISTEMA DE ECUACIONES equivalentes a otro: Si se sustituye una de las ecuaciones por otra equivalente. Si se suma o resta a una ecuación otra multiplicada por un número Son equivalentes: Sustituimos la segunda ecuación por −2·(x + 3y = 5): Sumamos a la segunda ecuación la primera: Dividimos por −5 la segunda ecuación:

EQUIVALENCIA DE ECUACIONES, SISTEMAS E INECUACIONES Dos o más ecuaciones / inecuaciones / sistemas se dicen equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtiene una INECUACIÓN equivalente a otra: Si se suma o resta el mismo número a los dos miembros. Si se multiplica o divide por el mismo número positivo los dos miembros. Si se multiplica o divide por el mismo número negativo los dos miembros y se invierte el signo de la desigualdad. Son equivalentes: 2x + 3 < 5 – x 3x + 3 < 5 (Sumamos x a cada miembro) 3x < 2 (Restamos 3 a cada miembro) x < 2/3 (Dividimos por 3 cada miembro)

ECUACIONES POLINÓMICAS  2 = 4x – 3x  x = 2 Grado 1: 3x + 2 = 4x Grado 2: x2 3x + 2 = 0 Grado > 2: BICUADRADAS x4  10x2 + 9 = 0 y = x2 [y2 = x4]  y2  10y + 9 = 0 Se procede por factorización: Grado > 2: OTRAS x3  6x2 + 11x  6 = 0 Regla de Ruffini: Las soluciones son: x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3

ECUACIONES IRRACIONALES (RADICALES) La incógnita está en el argumento de una expresión radical. Se aísla una raíz y se eleva a una potencia igual al índice de la raíz. Como hay más de una raíz, aislamos una de ellas y luego elevamos al cuadrado. Repetimos la operación de aislar la raíz y luego elevar al cuadrado. ¡Recordemos que debemos comprobar la validez de las soluciones!

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: Se aplica cualquiera de los métodos: SUSTITUCIÓN IGUALACIÓN REDUCCIÓN GAUSS NO LINEALES: Método de sustitución [1] [2] [3] S.E.L. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:  [2] 2x – y – 2(1 – x – y) = 1  [3] x + 2y + 5(1 – x – y) = 0 [1]  z = 1 – x – y [1]  z = 1 – x – y  [2] 4x + y = 3  [3] −4x − 3y = −5 [2]  y = 3 – 4x  [3] −4x − 3(3 – 4x) = −5 [2]  y = 3 – 4x  [3] 8x = 4  x = ½  y = 3 – 4 ·½ = 3 – 2 = 1  y = 1  z = 1 – ½ – 1 = –½  z = –½

[1] [2] [3] SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES [1]  z = 1 – x – y z = 1 – x – y 1 – x – y = [4] [5] MÉTODO DE IGUALACIÓN [2]  z = 1 – x – y = [3]  z = [4]  y = 3 – 4x y = 3 – 4x 3 – 4x =  3(3 – 4x) = 5 – 4x  9 – 12x = 5 – 4x  [5]  y =  4 = 8x  x = ½  y = 3 – 4 ·½ = 3 – 2 = 1  y = 1  z = 1 – ½ – 1 = –½  z = –½

x + y + z = 1 [1] [2] [3] SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE REDUCCIÓN 2·[1] 2x + 2y + 2z = 2 [2] 2x – y – 2z = 1 [4] [5] [4] – [5] 3y + 4z = 1 [8] [6] [7] [2] 2x – y – 2z = 1 2·[3] 2x + 4y + 10z = 0 [7] – [6] 5y + 12z = −1 [9] 3·[8] 9y + 12z = 3 [9] 5y + 12z = −1 [10] [11] [10] – [11] 4y = 4  y = 1 5y + 12z = −1  z =  z = –½  x = 1 – y – z = 1 – 1 – (–½) = ½  x = ½

[1] [2] [3] SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE GAUSS Se trata de triangularizar el sistema utilizando las transformaciones en sistemas equivalentes que hemos estudiado. [1] x + y + z = 1 [2] – 2·[1] – 3y – 4z = –1 [3] – [1] y + 4z = –1 [1] [2] [3] [1] x + y + z = 1 [2] y + 4z = –1 [3] – 3y – 4z = –1 [2]  [3] Intercambiamos la 2º ecuación con la 3ª: [I] [II] [III] [1] x + y + z = 1 [2] y + 4z = –1 [3] + 3·[2] 8z = –4 x + y + z = 1 y + 4z = –1  z = –½  y = –1 – 4z = –1 – 4 ·½ = –1 + 2 = 1  y = 1  x = 1 – y – z = 1 – 1 – (–½) = ½  x = ½

[1] [2] [3] SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MÉTODO DE GAUSS La triangularización no tiene por qué hacerse en el orden en que aparecen las incógnitas. [1] [2] [3] [1] x + y + z = 1 [2] – 2·[1] – 3y – 4z = –1 [3] – [1] y + 4z = –1 [1] x + y + z = 1 [2] –3y – 4z = –1 [3] + [2] –2y = –2 [I] [II] [III] x + y + z = 1 –3y – 4z = –1  y = –2/(–2)  y = 1  z =  z = –½  x = 1 – y – z = 1 – 1 – (–½) = ½  x = ½

x + y = 17 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES En general se suele utilizar el método de sustitución:  y = 17 – x Sustituimos en la segunda ecuación: x2 + (17 – x)2 = 169  x2 + 289 – 34x + x2 = 169  x2 – 17x + 60 = 0  x1 = 12  y1 = 17 – 12 = 5 x2 = 5  y2 = 17 – 5 = 12

INECUACIONES Estudiaremos inecuaciones polinómicas y racionales. El tratamiento es básicamente igual que las ecuaciones, pero: Los valores de los polinomios cambian de signo en sus raíces. Las soluciones son intervalos o uniones de intervalos. Quitamos denominadores multiplicando todo por 5 5x ≤ 5 – 4 + 2x Transponemos términos: 5x – 2x ≤ 5 – 4  3x ≤ 1 ¡Ojo! Por último, dividimos todo por 3: x ≤ 1/3  x  (–, 1/3]

– + + – – + + – + INECUACIONES x2 + 4x – 21 < 0 Factorizamos el miembro de la izquierda resolviendo previamente: x2 + 4x – 21 = 0 Por tanto: x2 + 4x – 21 = (x + 7)(x – 3) El signo de x2 + 4x – 21 se mantendrá constante dentro de cada uno de estos tres intervalos: (–, –7), (–7, 3), (3, +) Estudiamos el signo de cada factor en cada uno de ellos. (–, –7) (–7, 3) (3, +) – + + x + 7 – – + x – 3 (x + 7)(x – 3) + – + Por tanto, la solución es: x  (–7, 3)

INECUACIONES x2 + 4x – 21 < 0 Método gráfico. Resolvemos la ecuación x2 + 4x – 21 = 0 Por tanto, la gráfica de la función es: Nos fijamos en la parte de gráfica que está bajo el eje (puesto que la inecuación es x2 + 4x – 21 < 0) y vemos a qué intervalo corresponde. Por tanto, la solución es: x  (–7, 3)

– + + + – – + + – – – + – + – + INECUACIONES x3 – 6x2 + 3x + 10 ≥ 0 Factorizamos el miembro de la izquierda. Por tanto: x3 – 6x2 + 3x + 10 = (x + 1)(x – 2)(x – 5) El signo de x3 – 6x2 + 3x + 10 se mantendrá constante dentro de cada uno de los siguientes intervalos: (–, –1), (–1, 2), (2, 5), (5, +) Estudiamos el signo de cada factor en cada uno de ellos. (–, –1) (–1, 2) (2, 5) (5, +) – x + 1 + + + – – + + x – 2 – – – + x – 5 – + – + (x + 1)(x – 2)(x – 5) Por tanto, la solución es: x  [–1, 2]  [5, +)

Ahora realizamos la suma de la izquierda. INECUACIONES En las inecuaciones racionales procuraremos que uno de los miembros sea 0. Ahora realizamos la suma de la izquierda. Estudiamos las raíces del numerador y denominador. –3x + 6 = 0  x = 2 x – 1 = 0  x = 1 Recordamos que los valores de los polinomios cambian de signo en sus raíces: 1 2 –3x + 6 + + – x – 1 – + + Para que el cociente sea positivo, los signos deben ser iguales. Por tanto, la solución es: x  (1, 2)

INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS x  2y  5 Requieren una resolución gráfica. Para ello, consideramos la igualdad asociada y representamos gráficamente la recta correspondiente: x – 2y = 5 x y 5 0 –1 –3 f(x, y) = x – 2y f(0, 0) = 0 – 2·0 = 0 Como 0 ≥ 5, el punto (0, 0) está en el semiplano complementario a la solución. / SOLUCIÓN

SISTEMAS DE INECUACIONES Se resuelven por separado cada una de las inecuaciones y se toma la parte común de las soluciones. ( 4)  2 – 4x ≥ 4 – 3x  2 – 4 ≥ –3x + 4x  –2 ≥ x  x (–, –2] ( 4)  4x – 6 ≤ 2x – 1  4x – 2x ≤ –1 +6  2x ≤ 5  x (–, 2,5] x (–, –2] –2 2,5 – x (–, 2,5] SOLUCÍÓN. x  (–, –2]  (–, 2,5] = (–, –2]

x + 2y +1 = 0 SISTEMAS DE INECUACIONES 2x – y = 1 x y x y 0 –0,5 0 –1 –1 0 0,5 0 f(x, y) = x + 2y + 1 f(x, y) = 2x – y – 1 f(0, 0) = 0 + 2·0 + 1 = = 1 < 0 f(0, 0) = 2·0 – 0 – 1 = = – 1 ≥ 0 / / SOLUCIÓN

APLICACIONES: PROBLEMAS Suena una sirena en una fábrica y a los 25 segundos suena la de otra fábrica situada a 11 Km y 700 m de la primera. Sabiendo que Elena se encuentra entre ambas fábricas y oye las sirenas a la vez, calcula la distancia a la que se encuentra de cada una de ellas. (Velocidad del sonido en el aire: 340 m/s) A Elena B x y Elegimos como incógnitas las distancias desde Elena a las fábricas: Suponemos que Elena está a x metros de la primera fábrica e y metros de la segunda. Esto significa que x + y=11700. Por otro lado, el tiempo que tarda el sonido de la sirena de la primera fábrica en llegar a Elena es t1 = e/v = x/340, y el de la segunda sirena t2 = y/340. Como además, la segunda sirena suena 25 segundos más tarde: t1 = t2 + 25. Es decir, tenemos el sistema: Resolvemos por reducción, sumando ambas ecuaciones: 2x = 20200  x = 10100 metros. Por tanto, y = 11700 – 10100 = 1600 metros. Elena se encuentra a 10100 metros de la primera fábrica y 1600 metros de la segunda.

APLICACIONES: PROBLEMAS Una tienda de material deportivo vende dos calidades de pantalones en diferentes colores. El precio de coste por unidad de cada uno es de 30 € y 20 € respectivamente. El beneficio que se obtiene en la venta de cada uno de los modelos es de 4 € y 3 €. El dueño del establecimiento sólo tiene 1800 € para la inversión; y además, en su pequeño almacén no le caben más de 80 pantalones. ¿Cuál es la cantidad más conveniente de unidades de cada calidad para que el beneficio obtenido en la venta sea el máximo posible? Si llamamos x al número de unidades de la primera calidad e y al de la segunda, tenemos que x + y  80 ya que no caben más de 80 en el almacén. Por otro lado, debido a la limitación del presupuesto, 30x + 20y  1800. Y evidentemente, x  0, y  0. El beneficio total vendrá dado por B(x, y) = 4x + 3y. Tenemos, entonces un sistema de inecuaciones: 3x + 2y = 180 x + y = 80 Estas situaciones dan lugar a los llamados problemas de PROGRAMACIÓN LINEAL. El sistema de inecuaciones delimita un recinto poligonal. Los extremos de la función B(x, y) se alcanzan en los vértices de dicho polígono. Así, es evidente que en (0, 0) se alcanza el mínimo: B(0, 0) = 0. En el vértice (0, 80): B(0, 80) = 240 €. En el vértice (60, 0): B(60, 0) = 240 € Por último en (20, 60): B(20, 60) = 4·20 + 3·60 = 260 € que es el beneficio máximo. La cantidad más conveniente es 20 pantalones de la primera calidad y 60 de la segunda.

FIN DEL CAPÍTULO