Técnicas de Análisis de las Redes de Petri UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS POSTGRADO EN CIENCIAS DE LA COMPUTACION Técnicas de Análisis de las Redes de Petri María E. Villapol mvillap@ciens.ucv.ve

Introducción Existen varias técnicas para el análisis de las Redes de Petri. En este cursos veremos las siguientes: Árbol de Accesibilidad. Matriz de Incidencia.

Árbol de Accesibilidad Representa el conjunto accesible de una Red de Petri. Dicho árbol representa todas las secuencias de ocurrencia de transiciones. Cada vía del árbol, comenzando desde la raíz, corresponde a una secuencia de ocurrencias de transiciones legales. Un árbol de accesibilidad puede ser infinito. Los marcados muertos serán denominados marcados terminales.

Árbol de Accesibilidad En el árbol, los nodos representan los marcados generados desde M0 (la raíz) y sus sucesores. Los arcos representan la ocurrencia de una transición, la cual transforma un marcado en otro. Observe que el árbol puede crecer infinitamente si la red es no acotada.

Árbol de Accesibilidad Para mantener el árbol finito se introduce un nuevo símbolo, . Este puede ser pensado como “infinito”. Este tiene las siguientes propiedades para un entero n:  > n,  ± n =  y  ≥ .

Árbol de Accesibilidad El árbol de accesibilidad de un Red de Petri se construye siguiendo los siguientes pasos: Etiquete el marcado inicial M0 como la raíz y márquelo como nuevo. Mientras exista un nuevo marcado, hacer: Seleccione un nuevo marcado M. Si M es idéntico a un marcado en el camino de la raíz a M, entonces marque M como viejo y vaya a otro nuevo marcado. Si no hay mas transiciones habilitadas en M marque M como marcado muerto.

Árbol de Accesibilidad Mientras existan transiciones habilitadas en M, hacer lo siguiente para cada transición habilitada, t, en M: Obtener el marcado M’ que resulta de la ocurrencia de t en M. En el camino desde la raíz a M si existe un marcado M’’ tal que M’(p) ≥ M’’(p) para cada plaza p y M’  M’’, M’’ es cubrible, entonces reemplace M’(p) por  para cada plaza p tal que M’(p) > M’’(p). Introducir M’ como un nodo, dibuje un arco con la etiqueta t de M a M’ y marque M’ como nueva.

Árbol de Accesibilidad t0 t1 t2 t3 p1 p2 p3

Árbol de Accesibilidad M0 = (1 0 0) t3 t1 M3 = (1  0) M1 = (0 0 1) t3 Marcado muerto t1 M4 = (0  1) M6 = (1  0) viejo t2 M5 = (0  1) viejo

Árbol de Accesibilidad El grafo de accesibilidad de una Red de Petri (N,M0) es un grafo etiquetado G=(V,E). V es el conjunto de todos los nodos etiquetados distintos en al árbol de accesibilidad. El conjunto de arcos E es el conjunto de arcos etiquetados con un solo transición tk que representan todas las posibles ocurrencias de un transición simple tal que Mi [tk > Mj, donde Mi y Mj están en V. Se llama también Grafo de Ocurrencias o Grafo de Marcados.

Árbol de Accesibilidad t3 t1 0 0 1 1 0 0 1  0 t3 t1 0  1 t2 Grafo de accesibilidad del ejemplo anterior

Árbol de Accesibilidad Algunas propiedades que pueden ser estudiadas usando el árbol de accesibilidad T para un Red de Petri (N,M0) son: Una red es acotada y [M0 > es finito sii  no aparece en ninguna de la etiquetas en T. Una red (N,M0) es segura sii solamente 0s y 1s aparecen en las etiquetes de los nodos en T. Una transición t esta muerta sii no aparece como una etiqueta de un arco en T. Si M es alcanzable desde M0, entonces hay un nodo etiquetado M’ tal que M  M’.

Árbol de Accesibilidad Conjunto de accesibilidad: Conjunto de todos los marcados alcanzables desde el marcado inicial M0. Denotado como [M0 >. Definido inductivamente como: M0  [M0 >. Si M1  [M0 >, y para t  T, M1 [t > M2 entonces M2  [M0 >.

Árbol de Accesibilidad t1 t2 t3 s3 Marcado Nro M(s1) M(s2) M(s3) Transición hab. 1 t2 2 t1, t3 3 4 5 - 6

Árbol de Accesibilidad 1 t3 t2 t1 2 t3 t1 4 3 t1 t3 6 5 Grafo de Ocurrencias

Árbol de Accesibilidad Limitaciones

Matriz de Incidencia Para un Red de Petri N con n transiciones y m plazas, la matriz de incidencia A = [aij] es una matriz de n x m de enteros y su entrada típica es dada por: aij = aij+ - aij- aij+ = w(i,j) es el peso del arco que va desde la transición i a su plaza de salida j. aij- = w(j,i) es el peso del arco que va hacia la transición i desde su plaza de entrada j.

Matriz de Incidencia aij- , aij+, aij, respectivamente, representan el número de tokens removidos, sumados y cambiados en la plaza j cuando la transición i ocurre una vez. La transición i esta habilitada en un marcado M sii aij-  M(j), j= 1,2,…,m

Matriz de Incidencia p2 2 t2 p1 t1 p4 p3 t3 0 -1 -1 0 aij = 0 +2 +1 -1 0 -1 -1 0 aij = 0 +2 +1 -1 0 0 -1 +1 1 0 0 0 aij+ = 0 2 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 aij- = 0 0 0 1 0 0 1 0 - =

Referencias Murata T., Petri Nets: Properties, Analysis and Applications. Proceedings of The IEEE, Vol. 77, No. 4, April, 1989, pp 541-580. Rukoz M. Fundamentos de Programción Paralela - Redes de Petri. Lecturas de Docencia. Escuela de Computación. Facultad de Ciencias. UCV.